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1、第二章 组合逻辑函数,本章首先介绍逻辑代数的基本公式、常用公式及常用规则，并在此基础上着重讨论逻辑函数的表示形式和化简方法。,2-1 逻辑代数基础 2-2 布尔代数2-3 逻辑函数与其逻辑表达式2-4 逻辑图2-5 卡诺图及逻辑化简2-6 应用实例2-7 小结,2-1 逻辑代数基础,逻辑代数又称为布尔代数,它是19世纪中叶由英国数学家乔治.布尔（George.Boole）最早提出来的，是描述客观事物逻辑关系的数学方法。因20世纪30年代被克劳德.香农（Claude E.Shannon）用于开关电路的分析与设计上，故又称为开关代数。,2.1.1 逻辑函数的基本概念 2.1.2 逻辑代数的基本运算
2、与复合运算,2-1-1 逻辑函数的基本概念,逻辑变量逻辑代数中的变量，一般由大写或小 写字母表示。二值逻辑仅包括逻辑0和逻辑1两种取值。逻辑函数是一类描述逻辑变量之间关系的函数。输入变量（自变量）与输入信号对应的逻辑 变量称为输入变量。输出变量（因变量）与输出信号对应的变量。逻辑表达式描述逻辑函数的一种代数形式。记为 F=F(A,B,C,).,2-1-2 逻辑代数的基本运算与复合运算,1.与运算与运算如果将开关闭合作为条件，将灯 亮作为结果，那么该图表示，只 有决定事件结果的全部条件同时 具备时，结果才能发生，这一因 果关系就称为与运算。,串联开关电路,与运算的真值表,真值表给出自变量各种可能
3、取值组合下因变量的值.,由与运算规则可推出：A00 A1A AAA,与运算的逻辑表达式为 FABAB,与门的逻辑符号 二极管与门,与门电路的电平表,与门-实现与运算的单元电路,2.或运算（或逻辑、逻辑加）,或运算决定事件结果的所有条件中 只要有任何一个满足，结果 就会发生，这种因果关系称 为或运算。,并联开关电路,或运算的真值表,或运算的逻辑表达式为 FAB,由或运算规则可推出 A0A A11 AAA,或门实现或运算的单元电路,或门的逻辑符号 二极管或门,或门电路的电平表,3.非运算（非逻辑、逻辑反）,非运算当条件具备时结果不会发生；当 条件不具备时结果一定会发生，这种逻辑关系称为非运算。,非
4、逻辑实例,非运算真值表,非运算的逻辑表达式是,非门实现非运算的单元电路,非运算的逻辑符号,非门电路的电平表,AA1 AA0 A A,4.复合逻辑运算,复合逻辑运算 将“与”、“或”、“非”三种基本 运算进行组合，可以构“与 非”、“或非”、“与或非”、“同或”、“异或”等常用的复合逻辑运算。,与非、或非、与或非三种运算的表达式分别为,与非门 或非门 与或非门,异或运算,异或运算的逻辑表达式为,FABA B,异或运算表示：当输入变量A、B相异时，输出为1；相同时输出为0,异或门的逻辑符号,异或运算的真值表,同或运算,同或运算的逻辑表达式 F=AB ABAB,同或运算表示:当输入变量A、B相异时，
5、输出为0；相同时输出为1。,同或运算的真值表,同或门的逻辑符号,异或计算公式,例 211 利用异或运算实现自然二进制码与格 雷码之间的转换。,g3b3 g2b3 b2 g1b2 b1 g0b1 b0反之 b3g3 b2g3 g2 b1g3 g2 g1 b0g3 g2 g1 g0,2-2-1 布尔代数的基本公式2-2-2 布尔代数的三个规则2-2-3 公式法化简逻辑函数,2-2 布尔代数,2-2-1 布尔代数的基本公式,用真值表来证明包含律的正确性。AB+AC+BC=AB+AC,1.代入规则2.反演规则3.对偶规则,2-2-2 布尔代数的三个规则,1.代入规则,例：用代入规则推广摩根定律。,逻辑
6、等式中任一变量x以函数z代替，所得新等式仍然成立。,2.反演规则,设x为原变量，称 为反变量，设z为原函数，称 为反函数。设f是一逻辑表达式，若把f中所有的 变成，变成；1变成0，0变成1；原变量变成反变量，反变量变成原变量，则构成的新表达式为原函数 f 的反函数。,运用反演规则可以方便地求出一个函数的反函数，但须注意如下两点：1运算次序增守“先括号、然后与、最后或”这 一原则。2不属于单变量上的非号保留不变。,第二章 组合逻辑函数,用反演规则求反函数,3.对偶规则,设f是一逻辑表达式，若把f中所有的 变成，变成；1变成0，0变成1，则构成的新表达式为f的对偶式fD。若逻辑等式成立，则对偶式也
7、一定成立。,注意：1.运算优先次序不能改变;2.式中非号保持不变.,用对偶规则求对偶式,2-1-3 公式法化简逻辑函数,用计算公式和三个规则化简逻辑函数。常用：、并项、吸收、消元、配项、展开公式,公式法化简逻辑函数举例（1）,公式法化简逻辑函数举例（2）,公式法化简逻辑函数举例（3）,公式法化简的缺点：不直观，要求经验、技巧较高，难以判断是否最简。,常用逻辑函数的表示方法有真值表、表达式、逻辑图、和卡诺图等。,2-2 逻辑函数和逻辑表达式,2-2-1 导出逻辑表达式与真值表2-2-2 积之和表达式和最小项表达式2-2-3 和之积表达式和最大项表达式2-2-4 真值表和最小项、最大项的对应关系2
8、-2-5 最小项与最大项的关系2-2-6 最小项表达式和最大项表达式的关系,第二章 组合逻辑函数,2-2-1 导出逻辑表达式与真值表,相同逻辑的真值表是唯一的，但是，可以用不同的逻辑表达式描述。,例1：三人表决电路例2：防盗报警电路例3：一位二进制全加器例4：多路开关,例1：三人表决电路,多数表决,第二章 组合逻辑函数,例2：防盗报警电路,保险箱的启动次序为：打开：闭合控制开关打开橱门开启保险箱关闭：关闭保险箱关闭橱门断开控制开关,W:控制开关:W=1,开关闭合；W=0,开关断开。X:放置保险箱的橱门:X=0,闭合；X=1,打开。Y:保险箱上的敏感元件:Y=1,保险箱开；Y=0,保险箱关。,正
9、常状态：W=0,X=0,Y=0 保险箱打开的正常操作顺序:W=0 1;X=0 1;Y=0 1 关闭:Y=1 0;X=1 0;W=1 0 操作正确 Z=0 否则 Z=1,打开：WXY:000 100 110 111关闭：000 100 110 111,正常状态：W=0,X=0,Y=0 保险箱打开的正常操作顺序:W=0 1;X=0 1;Y=0 1 关闭:Y=1 0;X=1 0;W=1 0 操作正确 Z=0 否则 Z=1,例3：一位二进制全加器,例4：多路开关,2-2-2 积之和表达式和最小项表达式,积之和表达式：逻辑表达式为几个与项的和称为与-或 式，又称为积之和表达式。最小项：在一个n个自变量的
10、逻辑函数中，包含n个变 量的积项称为最小项，共有k=2 n个最小项，为m0mk-1。最小项表达式：当积之和表达式中所有与项为最小项 时称为最小项表达式。,表2-2-2 真值表,第二章 组合逻辑函数,例2-2-4 已知函数z的真值表如表所示,试写 出其最小项表达式。,z(v,x,y)=m(1,2,4,7),注意：函数z(v,x,y)的变量 名表的顺序必须与 真值表中各自变量 的排列顺序一致，从而使最小项的标 号与真值表的行号 一致。,2-2-3 和之积表达式和最大项表达式,和之积表达式：逻辑表达式为几个或项的积称为或-与 式，又称为和之积表达式。最大项：在一个n个自变量的逻辑函数中，包含n个变量
11、 的或项称为最大项。最大项表达式：当和之积表达式中所有或项为最大项时 称为最大项表达式。,第二章 组合逻辑函数,2-2-4 真值表和最小项、最大项的关系,逻辑函数的最小项表达式和最大项表达式是唯一的。,2-2-5 最小项与最大项的性质,所有最小项之和恒为1。任意两个不同最小项之积恒为0。所有最大项之积恒为0。任意两个不同最大项之和恒为1。标号相同的最大项和最小项互为反函数。,2-2-6 最小项表达式与最大项表达式的关系,由上述最小项、最大项性质的分析，可以得到最小项与最大项具有如下关系：（1）标号相同的最大项、最小项互为反函数 例如:,（2)如果已知函数的最小（大）项表达式，则由未出现 在该最
12、小（大）项表达式中的所有标号构成该函数的 最大（小）项表达式。（3）如果已知函数的最小（大）项表达式，则由相同标 号构成的最大（小）项表达式为该函数的反函数；且由未 出现在最小（大）项表达式中的各标号构成 的最小(大）项表达式为该函数的反函数。,第二章 组合逻辑函数,第二章 组合逻辑函数,2-3 逻辑图,逻辑图是描述逻辑函数的另一方式与-或式对应的逻辑图或-与式对应的逻辑图,例2-3-1 导出HA的逻辑图,例2-3-2 分析电路,逻辑功能：异或门,例2-3-3 分析电路,逻辑功能：全加器,例5 某报警电路如图所示，其输入信号为A、B、C,输出信号为F。开关S1、S2、S3的 通断决定了输入信号电平的高低，当某一 开关闭合时，其对应的输入信号为低电平，反之，为高电平，当F为高电平时，警灯亮，否则灭。当2个或2个以上的 开关闭合时，警灯亮。试列出它的真值表，画出该报警 器电路的与或电路、与非与非电路、或与电路、或非或非电路、与或非电路。,
