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1、第二节 正项级数审敛法,一、正项级数收敛及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛,一、正项级数及其审敛法,定义 设级数,的每一项都是非负数,则称此级数是,显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的,即,正项级数.,定理1 正项级数 收敛的充分必要条件是:它的部分和数列sn有界.,证明:这是一个正项级数,其部分和为:,故sn有界,所以原级数收敛.,定理2(比较审敛法)设 和 都是正项级数,且,若级数 收敛,则级数 收敛;反之,若级数 发散,则级数 也发散.,则有:若 发散,则 也发散;且当 时,有 成立,则有:若 收敛,则 也收敛.,推论设级数 和 是两个正项级数,且存在自然数N,
2、使当 时,有(k0)成立,,例2 判定p-级数,的敛散性.常数 p0.,由此可得结论,p级数当 时发散,p1时收敛.,定理3(比较判定法的极限形式),证明:(1)由极限定义可知,对,存在自然数N,当nN时,有,而级数数 收敛,根据比较审敛法的推论,知级数 收敛,定理表明,当 时,如果 是与 同阶或是比 高阶的无穷小,而级数 收敛,则级数 收敛;如果 是 同阶或是比 低阶的无穷小,而级数 发散,则级数 发散.,由定理(3)知原级数发散.,而调和级数 是发散的,,定理(达朗贝尔比值判别法)设 为正项级数,如果(1)当l 1时,级数收敛;,(3)当l=1时,级数可能收敛,可能发散.,(2)当l 1(
3、或)时,级数发散.,证:(1)当l1,取一个适当小的正数,使得,由极限定义知,存在自然数m,有级数 收敛,因为此级数的各项小于收敛的等比级数(公比r1)对应项:,(此级数比以上级数只多了前m项),(2)当l1,取一个适当小的正数 使得,由极限定义知,当,有,当 时,级数的一般项 逐渐增大,由级数收敛的必要条件可知 发散.,类似地,可证当 发散.,(3)当l=1时,级数可能收敛也可能发散.,不能判别敛散性.,但p级数,当 p1 时,级数收敛,当 时,级数发散.,例如p级数,例9 判别级数,解:,由比值判别法可知所给级数发散.,此时l=1,比值判别法失效,用其他方法判定;,则当l 1(或)时级数发
4、散;当l=1时,级数可能收敛,也可能发散.,定理5(根值审敛法,柯西判别法)设 为正项级数,如果它的一般项un的n次根的极限等于 l;,证:(1)当l1,由极限定义,对于一个适当小的正数,存在自然数 m,当 时,有,(2)当l1,由极限定义,对于一个适当小 的正数,存在自然数m,当 时,有,(3)当l=1时,以p级数为例,故当 l=1时,级数可能收敛,也可能发散.,定理6(极限审敛法)设 为正项级数,(1)如果,则级数 发散;,(2)如果p1,而,则级数 收敛.,证明:,(1)在极限形式的比较审敛法中,取,由调和级数 发散,知结论成立.,(2)在极限形式的比较审敛法中,取,当p1时,p级数 收
5、敛,故结论成立.,例12,解:,根据极限审敛法,知所给级数收敛.,例13,解:因为,根据极限审敛法,知所给级数收敛.,二、交错级数及其审敛法,定义 正负项相间的级数,称为交错级数.,定理1(莱布尼兹定理)如果交错级数,则级数收敛,且其和,并且其余项 rn的绝对值:,(1)级数前项大于后项,即(2)级数的通项趋于零,即,证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在,为此将s2n写成两种形式:,由(1)式可知s2n是单调增加的;由(2)式可知s2nu1.,由单调有界数列必有极限的准则,知:当n无限增大时,s2n趋于一个极限s,并且s不大于u1,即:,再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s,有,三、绝对收敛与条件收敛,任意项级数:一般的级数,它的各项为又有正数,又有负数的任意实数.,定义(1)如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛,则称原级数绝对收敛;(2)如果级数收敛,而它的各项绝对值所组成的级数发散,则称原级数条件收敛.,注意:(1)由于任意项级数各项的 绝对值组成的级数是正项级数,一切判别正项级数敛散性的判别法,都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.,定理9 如果任意项级数,则:当l1时,级数发散.,