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1、第二节 正项级数审敛法,一、正项级数收敛及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛,一、正项级数及其审敛法,定义 设级数,的每一项都是非负数,则称此级数是,显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即,正项级数.,定理1 正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界.,证明:这是一个正项级数，其部分和为:,故sn有界，所以原级数收敛.,定理2(比较审敛法)设 和 都是正项级数，且,若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数 也发散.,则有：若 发散，则 也发散;且当 时，有 成立，则有：若 收敛，则 也收敛.,推论设级数 和 是两个正项级数，且存在自然数N，
2、使当 时，有（k0)成立，,例2 判定p-级数,的敛散性.常数 p0.,由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.,定理3(比较判定法的极限形式),证明：(1)由极限定义可知,对,存在自然数N,当nN时，有,而级数数 收敛，根据比较审敛法的推论,知级数 收敛,定理表明，当 时，如果 是与 同阶或是比 高阶的无穷小，而级数 收敛，则级数 收敛；如果 是 同阶或是比 低阶的无穷小，而级数 发散，则级数 发散.,由定理(3)知原级数发散.,而调和级数 是发散的，,定理(达朗贝尔比值判别法)设 为正项级数，如果(1)当l 1时，级数收敛；,(3)当l=1时，级数可能收敛，可能发散.,(2)当l 1(
3、或)时，级数发散.,证:(1)当l1，取一个适当小的正数,使得,由极限定义知，存在自然数m,有级数 收敛，因为此级数的各项小于收敛的等比级数(公比r1)对应项：,(此级数比以上级数只多了前m项),(2)当l1，取一个适当小的正数 使得,由极限定义知，当，有,当 时,级数的一般项 逐渐增大,由级数收敛的必要条件可知 发散.,类似地，可证当 发散.,(3)当l=1时，级数可能收敛也可能发散.,不能判别敛散性.,但p级数，当 p1 时,级数收敛,当 时,级数发散.,例如p级数,例9 判别级数,解:,由比值判别法可知所给级数发散.,此时l=1，比值判别法失效，用其他方法判定;,则当l 1(或)时级数发
4、散；当l=1时，级数可能收敛，也可能发散.,定理5(根值审敛法，柯西判别法)设 为正项级数，如果它的一般项un的n次根的极限等于 l；,证:(1)当l1，由极限定义，对于一个适当小的正数,存在自然数 m，当 时，有,(2)当l1，由极限定义，对于一个适当小 的正数,存在自然数m，当 时,有,(3)当l=1时,以p级数为例,故当 l=1时,级数可能收敛，也可能发散.,定理6(极限审敛法)设 为正项级数,(1)如果，则级数 发散;,(2)如果p1，而，则级数 收敛.,证明：,(1)在极限形式的比较审敛法中，取，由调和级数 发散，知结论成立.,(2)在极限形式的比较审敛法中，取，当p1时，p级数 收
5、敛，故结论成立.,例12,解:,根据极限审敛法，知所给级数收敛.,例13,解:因为,根据极限审敛法，知所给级数收敛.,二、交错级数及其审敛法,定义 正负项相间的级数，称为交错级数.,定理1(莱布尼兹定理)如果交错级数,则级数收敛，且其和，并且其余项 rn的绝对值:,(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即,证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:,由(1)式可知s2n是单调增加的；由(2)式可知s2nu1.,由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于u1，即：,再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s，有,三、绝对收敛与条件收敛,任意项级数：一般的级数，它的各项为又有正数，又有负数的任意实数.,定义(1)如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数绝对收敛；(2)如果级数收敛，而它的各项绝对值所组成的级数发散，则称原级数条件收敛.,注意：(1)由于任意项级数各项的 绝对值组成的级数是正项级数，一切判别正项级数敛散性的判别法，都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.,定理9 如果任意项级数,则:当l1时，级数发散.,
