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1、第五章 近似方法,大部分量子力学问题需用近似方法及数值解法。数值解常比解析近似精确、灵活，但解析性更益于理解基本物理。5.1 不含时微扰理论：非简并情况 已知：求 的近似解V为微扰势非简并定态微扰理论的起点通常是：或简单写成：0,1。=1是真正要求的微扰问题。引入可了解微扰作用的特点，且使我们能通过比较不同幂次的系数而方便地求得微扰展开序列。当然，这意味着本征态与本征值在的复平面上，对应于=0附近是解析连续的。此外，如果微扰法在实用上可行，则要求取少数几项展开便应是较好的近似。,一、两能态问题,先讨论两能态严格解的的级数展开特点严格解：若(微扰小于能级差的一半)，则有注：1)在 时级数才能快速
2、收敛2）能级不因微扰而交叉3）并非微扰足够小便能级数展开，还需满足收敛条件。,二、微扰理论,记，有 可见定义有 和 可解得：因取（|n暂不归一化有相应解 和,利用 得：,求解精确至N阶的能量修正，只需精确至N-1阶的态矢修正,本征矢方程为：比较解得：,归纳得解：这里微扰使不同未微扰态有所混合，但混入部分不含|n0能级不因Vij而交叉能量的2阶修正使基态能量降低,三、微扰态矢的归一化,记由于=1,1,四、应用举例,例1：谐振子（）该问题也可解析求解：解析解基态能量：,波函数：无微扰有微扰时：与二阶微扰结果一致！,例2：电场中的球对称原子,忽略自旋自由度，并设体系不简并(V不改变态的自旋)，则据微
3、扰理论，能量变化为 无微扰态是宇称本征态，zkk=0,无线性Stark效应（体系无电偶极矩）。故微扰产生的是2阶Stark效应。由于,求和局限于相关态 注意：V,Lz=0,电场不破坏轴对称,m仍是好量子数原子极化率定义：类氢原子的基态的:对氢，该求和可严格求解(与实验吻合)为 估算：(考虑低激发态波函数，可提高估算精度）,5.2 简并态的定态微扰理论,一、非兼并微扰理论的问题未微扰态简并时，原微扰公式:因有分母=0，不能用。此外，近兼并时的收敛性成问题。若Vnn(n与n简并/近兼并)为零，则表达式有可能仍有用,设有g度简并态|m(0),其展开的子空间为D。D中的态可一般地写为：记P0为投影到D
4、的投影算符，P1=1-P0则是投影到其他态矢组成的子空间部分的算符。本征方程可写为分别用P0和P1作用于上式，有若微扰成立,则要求 且 E 与 不同。上式可解为:,代入前一式得,二、兼并态微扰理论,考虑能量至一阶,波函数至零阶,可有此即g维简并子空间的线性方程组，其解即为求(V=)由此可得零阶态矢和一阶能移:因采用使V对角化的|m(0)组合，该方法不限于严格简并情形。将近简并能级并入D可使微扰展开快速收敛。,若微扰使简并完全消除,可将 看作微扰，其对态矢的一阶修正为P1子空间对一阶态矢修正的贡献：P0|l(1)+P1|l(1)即为完整的一阶态矢修正。2阶能量修正：形式与非简并情形类似，但求和限
5、于D外的子空间。,上述一阶波函数和二阶能级修正成立的条件是微扰完全消除简并，否则需将 作为微扰，进一步用简并法求其修正。归纳之，简并态的微扰法为：1）对简并态的微扰态构造相应的微扰矩阵2）解久期方程，即对角化微扰矩阵。久期方程本征值为一阶能量修正，本征解为0的零阶本征矢3）对高阶微扰使用等同于非简并的微扰理论表达式，但求和不包括D子空间中的态。,三、简并微扰理论应用举例,1.一阶Stark效应氢原子的n相同但lm不同的态是简并的，如2s和2p态简并。对V=-ezE，应用简并微扰理论，得微扰矩阵其中容易求出，能移与E成线性关系（一阶Stark效应），源于零阶波函数有偶极矩。,作业,5.1、5.2、5.10,
