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1、第八章 离散模型,8.1 层次分析模型8.2 循环比赛的名次8.3 社会经济系统的冲量过程8.4 效益的合理分配,y,离散模型,离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、,分析社会经济系统的有力工具,只用到代数、集合及图论（少许）的知识,8.1 层次分析模型,背景,日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化,Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process),AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,目标层,O(选择旅游地)
2、,准则层,方案层,一.层次分析法的基本步骤,例.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1,C2,Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要
3、由A确定C1,Cn对O的权向量,选择旅游地,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,2 4 6 8,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2,9及其互反数1,1/2,1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5
4、),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n 阶正互反阵最大特征根 n,且=n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij,形成A，计算CI 即得RI。,定义一致性比率 CR=CI/RI,当CR0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成
5、对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12(查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,最大特征根 1 2 n,权向量 w1(3)w2(3)wn(3),组合权向量,RI=0.58(n=3),CIk 均可通过一致性检验,w(2),方案P1对目标的组合权重为0.595
6、0.263+=0.300,方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T,组合权向量,第2层对第1层的权向量,第3层对第2层各元素的权向量,构造矩阵,则第3层对第1层的组合权向量,第s层对第1层的组合权向量,其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵,层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，
7、作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,二.层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。,例1 国家实力分析,例2 工作选择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例4 科技成果的综合评价,三.层次分析法的若干问题,正互反阵的最大特征
8、根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？,怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？,为什么用特征向量作为权向量？,当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？,1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质,定理1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且,定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 n,=n是A为一致阵的充要条件。,2.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算,精确计算的复杂和不必要,简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。,和法取列向量的算术平均,精
9、确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010,根法取列向量的几何平均,幂法迭代算法,1）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度,2)计算,3）归一化,5)计算,简化计算,4）若，停止；否则，k:=k+1,转2,3.特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应,问题,一致阵A,权向量w=(w1,wn)T,aij=wi/wj,A不一致,应选权向量w使wi/wj与 aij相差尽量小（对所有i,j)。,非线性最小二乘,线性化对数最小二乘,结果与根法相同,按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。,成对比较,Ci:Cj(直接比较）,aij 1步强度,aisasj Ci通过Cs
10、与Cj的比较,aij(2)2步强度,更能反映Ci对Cj 的强度,多步累积效应,体现多步累积效应,定理1,特征向量体现多步累积效应,4.不完全层次结构中组合权向量的计算,完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联,不完全层次结构,设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定,第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得,讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3)计算第3层对第1层权向量w(3）的方法,例:评价教师贡献的层次结构,P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、
11、科研。,C1,C2支配元素的数目不等,不考虑支配元素数目不等的影响,仍用 计算,支配元素越多权重越大,用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正,若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T,公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1,再用 计算,支配元素越多权重越小,教学、科研任务由上级安排,教学、科研靠个人积极性,考察一个特例：,5.残缺成对比较阵的处理,miA第i 行中的个数,为残缺元素,6.更复杂的层次结构,递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间
12、自上而下、逐层传递，无反馈和循环。,更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。,例,层次分析法的优点,系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列）；,实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；,简洁性计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。,层次分析法的局限,囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；,粗略定性化为定量，结果粗糙；,主观主观因素作用大，结果可能难以服人。,8.2 循环比赛的名次,n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。,根据比赛结果排出各队名次,方法1：寻找按箭头方向
13、通过全部顶点的路径。,312456,146325,方法2：计算得分：1队胜4场，2,3队各胜3场，4,5队各胜2场，6队胜1场。,2,3队，4,5队无法排名,6支球队比赛结果,32，4 5,循环比赛的结果竞赛图每对顶点间都有边相连的有向图,3个顶点的竞赛图,名次,1，2，3,(1,2,3)并列,1,2,3,4,2,(1,3,4),(1,3,4),2,4个顶点的竞赛图,名次,(1,2),(3,4),1,2,3,4?,竞赛图的3种形式,具有唯一的完全路径，如(1)；,双向连通图任一对顶点存在两条有向路径相互连通，如(4)；,其他，如(2)，(3)。,竞赛图的性质,必存在完全路径；,若存在唯一的完全
14、路径，则由它确定的顶点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1)。,双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序,邻接矩阵,得分向量,双向连通竞赛图的名次排序,对于n(3)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar 0，A称素阵,素阵A的最大特征根为正单根，对应正特征向量s，且,排名为1，2，4，3,1,2,3,4?,6支球队比赛结果,排名次序为1，3，2，5，4，6,v1能源利用量；v2能源价格；v3能源生产率；v4环境质量；v5工业产值；v6就业机会；v7人口总数。,8.3 社会经济系统的冲量过程,系统的元素图的顶点,元素间的影响带方向的弧,影响的正反面弧旁的+、号,带符号的有向图,
15、影响直接影响,符号客观规律；方针政策,例 能源利用系统的预测,带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵A,V顶点集 E弧集,定性模型,带符号的有向图G1,加权有向图G2及其邻接矩阵W,定量模型,某时段vi 增加1单位导致下时段vj 增加wij单位,v7,冲量过程（Pulse Process),研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程,vi(t)vi在时段t 的值；pi(t)vi在时段t 的改变量(冲量),冲量过程模型,或,能源利用系统的预测,简单冲量过程初始冲量p(0)中某个分量为1，其余为0的冲量过程,若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变,设,能源利用系统的 p(t)和v(t),简单冲
16、量过程S的稳定性,任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限(稳定),S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定,S冲量稳定对任意 i,t,|pi(t)|有界,S值稳定对任意 i,t,|vi(t)|有界,记W的非零特征根为,S冲量稳定|1,S冲量稳定|1且均为单根,S值稳定 S冲量稳定且不等于1,对于能源利用系统的邻接矩阵A,特征多项式,能源利用系统存在冲量不稳定的简单冲量过程,简单冲量过程S的稳定性,简单冲量过程的稳定性,改进的玫瑰形图S*带符号的有向图双向连通，且存在一个位于所有回路上的中心顶点。,回路长度 构成回路的边数,回路符号 构成回路的各有向边符号+1或-1之乘积,ak长度为k的回路
17、符号和,r使ak不等于0的最大整数,S*冲量稳定,若S*冲量稳定，则S*值稳定,简单冲量过程S*的稳定性,a1=0,a2=(-1)v1v2(-1)v2v1=1,a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,a5=1,r=5,S*冲量稳定,(-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓励利用变为限制利用)a2=-1,+,S*冲量稳定|1且均为单根,v1利用量,v2价格,v7,若S*冲量稳定，则S*值稳定,S*冲量稳定,v3能源生产率 v5工业产值,S*值稳定,能源利用系统的值不应稳定？,-,8.4 效益的合理分配,例,甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利
18、7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。又知每人单干获利1元。问三人合作时如何分配获利？,记甲乙丙三人分配为,解不唯一,(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2),(1)Shapley合作对策,I,v n人合作对策，v特征函数,n人从v(I)得到的分配，满足,v(s)子集s的获利,公理化方法,s子集 s中的元素数目，Si 包含i的所有子集,由s决定的“贡献”的权重,i 对合作s 的“贡献”,Shapley合作对策,三人(I=1,2,3)经商中甲的分配x1的计算,1/3 1/6 1/6 1/3,1 1 2 1 3 I,1 7 5 11,0 1 1 4,1 6 4 7,1/3
19、 1 2/3 7/3,x1=13/3,类似可得 x2=23/6,x3=17/6,1 2 2 3,合作对策的应用 例1 污水处理费用的合理分担,污水处理，排入河流,三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水由上游城镇送往下游城镇),Q污水量，L管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L,污水处理的5 种方案,1）单独建厂,总投资,2）1,2合作,3）2,3合作,4）1,3合作,总投资,总投资,合作不会实现,5）三城合作总投资,D5最小,应联合建厂,建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=453 12管道费：d2=0.66 50.51 20=30 23管道费：
20、d3=0.66(5+3)0.51 38=73,D5,城3建议：d1 按 5:3:5分担,d2,d3由城1,2担负,城2建议：d3由城1,2按 5:3分担,d2由城1担负,城1计算：城3分担d15/13=174C(1),不同意,D5如何分担？,特征函数v(s)联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资,三城从节约投资v(I)中得到的分配,Shapley合作对策,计算城1从节约投资中得到的分配x1,x1=19.7,城1 C(1)-x1=210.4,城2 C(2)-x2=127.8,城3 C(3)-x3=217.8,x2=32.1,x3=12.2,x2最大，如何解释？,合作对策的应用 例2 派别在团体中的
21、权重,90人的团体由3个派别组成，人数分别为40,30,20人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。,虽然3派人数相差很大,若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重。,团体 I=1,2,3，依次代表3个派别,优点：公正、合理，有公理化基础。,如n个单位治理污染,通常知道第i方单独治理的投资yi 和n方共同治理的投资Y,及第i方不参加时其余n-1方的投资zi(i=1,2,n).确定共同治理时各方分担的费用。,其它v(s)均不知道,无法用Shapley合作对策求解,Shapley合作对策小结,若定义特征函数为合作的获利(节约的投资)，则有,缺点：需要知
22、道所有合作的获利，即要定义I=1,2,n的所有子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。,求解合作对策的其他方法,例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？,（2）协商解,将剩余获利 平均分配,模型,以n-1方合作的获利为下限,求解,xi 的下限,（3）Nash解,为现状点（谈判时的威慑点）,在此基础上“均匀地”分配全体合作的获利B,模型,（4）最小距离解,模型,第i 方的边际效益,若令,（5）满意解,di现状点(最低点)ei理想点(最高点),模型,（6）Raiffi 解,与协商解x=(5,4,2)比较,求解合作对策的6种方法（可分为三类）,Shapley合作对策,A类,B类,协商解,Nash解,最小距离解,例：有一资方(甲)和二劳方(乙,丙),仅当资方与至少一劳方合作时才获利10元，应如何分配该获利？,Raiffi解,C类,B类：计算简单，便于理解，可用于各方实力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。,C类：考虑了分配的上下限，又吸取了Shapley的思想，在一定程度上保护弱者。,A类：公正合理；需要信息多，计算复杂。,求解合作对策的三类方法小结,
