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1、第八节 复系数与实系数多项式的因式分解,一、复系数多项式,二、实系数多项式,1.代数基本定理,一、复系数多项式,若 则 在复数域,上必有一根,推论1（代数基本定理的等价叙述）,使,推论2,复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即,则 可约,2.复系数多项式因式分解定理,若 则 在复数域,上可唯一分解成一次因式的乘积,推论1,推论2,若 则 在,其中 是不同的复数，,上具有标准分解式,复根（重根按重数计算）,若，则 有n个,二、实系数多项式,命题：若 是实系数多项式 的复根，则 的共轭复数 也是 的复根,若 为根，则,两边取共轭有,也是为 复根,证：,设,实系数多项式因式分解定理,，若，则 可唯
2、一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积,证：对 的次数作数学归纳,时，结论显然成立.,假设对次数n的多项式结论成立,设，由代数基本定理,有一复根,若 为实数,则，其中,若 不为实数，则 也是 的复根，于是,设，则,即在R上 是 一个二次不可约多项式,从而,由归纳假设、可分解成一次因式与二次,不可约多项式的乘积,由归纳原理，定理得证,在R上具有标准分解式,推论1,其中,且，即 为,R上的不可约多项式.,推论2,分别在实数域与复数域上分解因式,例1,(1),(2),在复数域上的分解式为:,(2),例2,分别求以1，1，-2，3+i,，1-i为根的次数最低的复,系数和实系数多项式.,解,(1)所求
3、的复系数多项式为,(2)因实系数多项式以3+i,，1-i为根,故3-i,，1+i也是,所求多项式的根,所以所求多项式至少有7个根.分别为:,1，1，-2，3+i，3-i，1+I，1-i.,从而,所求多项式为,附：单位根、单位原根,事实上,在复数范围内 的n个复根为,这里,则称 为n 次单位原根（简称原根）.也就是说,的任一根，都可经 表示.,易知如下性质:,解,在实数域范围内,在复数范围内 有n个复根，,其中,（3）,当n为奇数时,当n为偶数时,附:(根与系数的关系),设n次多项式,这个定理称为韦达定理.,则有,例4,已知多项式,试求 的所有根.,解,因实系数多项式有一虚根-2+i,根据实系数多项式,的虚根成对定理,还有根-2+i,为,则有韦达定理有:,从而,所以,所求 的所有根为,设 的第三根,有一根-2+i，,
