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1、第六章 习题课,一、主要内容,二、典型例题,一、主要内容,（一）多元函数微分学,（二）二重积分,平面点集和区域,多元函数的极限,多元函数连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数的性质,多元函数概念,一、主要内容（一、多元函数微分学）,全微分的应用,高阶偏导数,隐函数求导法则,复合函数求导法则,全微分形式的不变性,微分法在几何上的应用,方向导数,多元函数的极值,全微分概念,偏导数概念,1、区域,（1）邻域,连通的开集称为区域或开区域,（2）区域,（3）聚点,（4）n维空间,2、多元函数概念,定义,类似地可定义三元及三元以上函数,3、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二
2、元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4、极限的运算,5、多元函数的连续性,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,6、多元连续函数的性质,7、偏导数概念,、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,、全微分概念,多元函数连续、可导、可微的关系,10、全微分的应用,主要方面:近似计算与误差估计.,11、复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导
3、数.,12、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,隐函数的求导公式,13、隐函数的求导法则,14、多元函数的极值,定义,多元函数取得极值的条件,定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,条件极值：对自变量有附加条件的极值,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,（一）二重积分,1、二重积分的定义,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,性质,当 为常数时，,性质,、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积,性质,若在D上，,特殊地,性质,性质,（二重积分中值定理）,、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,（）极坐标系下,5、二重积分的应用,体积,二、典型例题,例1,解,例2,解,例3,解,于是可得,例4,解,例5,解,分析:,得,例6,解,X-型,例7,解,先去掉绝对值符号，如图,例8,解,例9,解,例10,解,例11,证,自测题（一）,自测题（一）答案,自测题（二）,自测题（二）答案,
