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1、第六章 二次型,6.1 二次型及其矩阵表示 6.2 化二次型为标准型 6.3 正定二次型,称为n元二次型.,第一节 二次型及其矩阵表示,一、二次型及其标准形的概念,定义1 二次型,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形,例如,对于二次型,二、二次型的矩阵表示方法,解,故,设,对于二次型，我们要讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,第二节 化二次型为标准型,则称矩阵A与B合同.记做 A B.,定义2 A与B合同,设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵C，使得：,CTAC=B,合同也是矩阵间的一种关系，它具有：(1)反身性(2)对称性(3)传递性,证明：,即 为对称矩阵.,A
2、与B合同，即存在n阶可逆阵C使得,CTAC=B,又，,证毕.,说明,简称配方法，是利用代数公式，将二次型配成完全平方式的方法。,1.用配方法化二次型为标准形,一、拉格朗日配方法,类型1、二次型中含有平方项,类型2、二次型中不含有平方项,类型1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,类型2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按类型1中方法配方.,解,例2,所用变换矩阵为,解,例3,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，
3、得,所用变换矩阵为,定理2,2.用正交变换法化二次型为标准形,P114 定理10,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:,解,1写出二次型的矩阵，并求其特征值,例4,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,(2)指出 表示何种二次曲面.,(1)求参数a及二次型所对应的矩阵的特征值；,已知二次型,例5,解,(1)因R(A)2，所以|A|0，解得a3.,的秩为2，,由A的特征多项式,(2)由于二次型 f=xTAx 经过正交变换x=Py可化为标准型,因此,故f(x1,x2,x3)=1通过正交变换化为=1,3.用初等变换法化二
4、次型为标准形,则称矩阵A与B合同.记做 A B.,定义2 A与B合同,设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵C，使得：,CTAC=B,第5章 定理10,任意实对称矩阵A必合同于对角矩阵L.,即,存在可逆矩阵C,使得:,CTAC=L,又,C可逆,则C必可表为初等矩阵的乘积,设:,C=P1P2Pm,于是:,(P1P2Pm)TAP1P2Pm=L,即:,EC=EP1P2Pm,EP1P2Pm=C,A P1P2Pm=L,上式表明，对A做一系列初等行变换和初等列变换，把A化为对角阵L的同时，其中的初等列变换就把单位阵化为变换矩阵C.,也即:,由此我们就可以得到化二次型的系数矩阵A为对角阵的可逆矩阵C，即CT
5、AC=L.,这种利用初等变化求可逆矩阵C及对角矩阵L，使CTAC=L的方法称为初等变换法.,注意：仅能对所构造的分块矩阵的前n行施行初等行变换,例6 用初等变换法化二次型 f=x12+5 x22+5x32+4x1x2-2x1x3-8x2x3为标准型，并求出所用的线性变换矩阵.,解 二次型的矩阵为：,得：,令xCy，则二次型f 化为标准形：,1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵.,2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换,四、小结,将一个二次
6、型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法或初等变换法，这取决于问题的要求,正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单 而初等变换法比较直观易求解,也是常用的方法.,不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，,项数等于所给二次型的秩,一个实二次型，既可以通过正交变换法化为标准形，也可以通过配方法和初等变换法化为标准形，显然，由于所用的可逆线性变换不同，其标准形一般来说是不惟一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,第三节 正定二次型,不仅如此，在实可
7、逆线性变换下，标准形中的正平方项个数与负平方项的个数，也是保持不变的.,定理3,定义3,实二次型 f xTAx 的标准形中正平方项的项数 p 称为二次型 f 的正惯性指数；负平方项的项数 q 称为二次型 f 的负惯性指数，它们的差 p-q 称为二次型 f 的符号差.,n元实二次型 f xTAx 无论用怎样的可逆实线性变换化成标准型，其标准型中正、负平方项的项数是唯一确定的，它们的和为二次型的秩.,一、惯性定理,例,二、实二次型的规范形,由P125定理2知，任意实二次型都可以化为标准型。设实二次型 f 经过适当的可逆线性变换化为标准型：,其中di0(i=1,2,r),r是f 的秩.,再对标准形作
8、一次如下线性变换：,标准形就化为：,称这一简单形式为实二次型的规范形,定理4,定理5,任何实二次型 f 总可以经过适当的线性变换化为规范形，且规范形是唯一的.,任何实对称矩阵必合同于形如,的对角矩阵.,正定二次型,负定二次型,例如,三、正(负)定二次型的概念,定义4,不定二次型,四、正(负)定二次型的判别,推论1,2 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A合同于E，即存在可逆矩阵P，使得APTP.,定理7,n元实二次型 f xTAx 正定的充要条件是A的特征值全部都大于零.,定义5 顺序主子式,定理8 n元实二次型 f xTAx 为正定的即实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的各阶主
9、子式均为正，即,正定矩阵的性质,P131 例1,学习辅导P245,因AT=A,BT=B，所以,(A+B)T=AT+BT=A+B,即A,B也是实对称矩阵.,又，对任意非零列向量x有xTAx0，xTBx0,证：,于是:xT(A+B)x=xTAx+xTBx0,即xT(A+B)x是正定二次型，故 A+B 是正定矩阵.,定理9 对于n元实二次型 f xTAx，下列各命题相互等价：,f 是负定二次型；,(2)f 的负惯性指数为n；,(3)A的特征值全为负；,(4)A E；,(5)A 的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正.,负定二次型的判定.,解,它的各阶主子式,故上述二次型是正定的.,例8 判别二次型,是否正定.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,定理7,解,根据定理9知，f 为负定的.,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)主子式判别法；,(3)特征值判别法.,1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法.,五、小结,(4)标准形判别法.,定理9,定理8,定理7,定理6,返回,
