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1、三内积,直角坐标平面内两矢量相对位置关系,利用范数符号，将矢量长度分别写作,于是,上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的“校准”情况。即,多维,三维,推广,信号空间,对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为,内的两连续信号的内积,四柯西施瓦茨不等式,Cauchy-Schwarz不等式,6.3 信号的正交函数分解,矢量的正交分解 正交函数正交函数集复变函数的正交特性,将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。,简化系统分析与运算，总响应=单元响应之和。,信号分解的目的,误差矢量,系数,两矢量正交,怎样分解，能得到最小的误差分量？,方式不是惟一的：,一矢量的正
2、交分解,正交分解,空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。,平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。,一个三维空间矢量，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：,二正交函数,方均误差,系数,三正交函数集,分解原则是误差函数方均值最小,理解,两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是c12=0，即：,总结,两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。,对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满足正交。,四.复变函数的正交特性,则此复变函数集为正交函数集。,6.4 完备正交函数集、帕塞瓦尔定理,完备正交函数集帕塞瓦尔定理,一完备正交函数集,二帕塞瓦尔定理,物理
3、意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。,信号的能量,基底信号的能量,各信号分量的能量,数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。,6.5 相关,能量信号与功率信号相关系数与相关函数相关与卷积的比较相关定理,6.6,在一个周期内，R消耗的能量,平均功率可表示为,设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R 上的电压,瞬时功率为,一能量信号和功率信号,定义,讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：(有限值)(有限值)满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。,定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R=1，则在整个时间域内，实信号f(t)的
4、,平均功率,能量,一般规律,一般周期信号为功率信号。,非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。,还有一些非周期信号，也是非能量信号。如u(t)是功率信号；而tu(t)为非功率非能量信号;(t)是无定义的非功率非能量信号。,数学本质:,相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。,物理本质:,相关与信号能量特征有着密切联系。,1相关系数,由两个信号的内积所决定：,二相关系数与相关函数,由柯西施瓦尔茨不等式，得,所以,2相关函数,f1(t)与f2(t)是能量有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数f1(t)与f2(t)是功率有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1
5、(t)与f2(t)为复函数,分如下几种情况讨论：,(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号,f1(t)与f2(t)为实函数:,相关函数定义:,可以证明：,的偶函数,相关函数：,同时具有性质：,(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号,f1(t)与f2(t)为复函数:,相关函数：,自相关函数：,(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号,f1(t)与f2(t)为实函数:,相关函数：,自相关函数：,(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号,f1(t)与f2(t)为复函数:,两者的关系,即,三相关与卷积的比较,说明,相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相
6、关不需要反褶。,四相关定理,若已知,则,若,则自相关函数为,说明,1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之积。2.自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。,6.6 能量谱和功率谱,6.7,能量谱与功率谱,1.能量谱,由相关定理知,所以,又能量有限信号的自相关函数是,有下列关系,帕塞瓦尔方程,定义,能量谱密度（能谱）,所以有,所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。,是功率有限信号,定义,f(t)的功率密度函数(功率谱）,2功率谱,利用相关定理有：,即,功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。,6.7 信号通过线性
7、系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析,能量谱和功率谱分析信号经线性系统的自相关函数,6.8,前面，从,中研究了,现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。,三者的关系,一能量谱和功率谱分析,X,时域,频域,物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与,的乘积。,同样，对功率信号有,物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与,的乘积。,所以,显然,二信号经线性系统的自相关函数,由,得,因为,所以,其中,为系统冲激响应的自相关函数。,6.9 码分复用、码分多址(CDMA)通信,6.11,一定义,码分：利用一组正交码序列来区分各路信号。,码分复用：利用自相关函数
8、抑制互相关函数的特性来选取正交信号码组中的所需信号，因此也称为正交复用。,二码分复用的理论依据,三码分复用的原理,解调,解调输出g1(t),解调输出g2(t),说明,码分复用的同步解调过程从本质上讲是利用了相关运算，求相关函数的运算包含相乘和积分，而低通相当于实现积分功能，完全不同于频分复用或时分复用。,四码分复用的优点,码分复用具有抗干扰性能好；复用系统容量灵活；保密性好；接收设备易于简化等。目前在无线移动通信系统中具有很好的应用前景。,五码分复用的应用码分多址通信,码分多址通信（CDMA:Code Division Multiple Access）假设在移动通信系统的小区范围内k个用户与基站通信，其中第k个用户的发射机简化原理如下图所示：,发射机简化原理,地址码码组具有如下的相关特性,接收机的简化原理,设计CDMA系统的关键问题之一就是要选好一组相互正交的地址码，它们的自相关函数在零点具有尖锐的峰值，而互相关函数取值最小。,
