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1、第六章 采样离散控制系统,6.1 引 言 目前,随着计算机性能和可靠性的不断提高,计算机越来越多地参与系统的控制.而计算机所能接收和输出的信号只能是数字信号,数字信号是关于时间t的离散信号.简单来说这种系统叫采样离散控制系统,其一般结构可由下图简单表示:,图中,S是采样开关,它以周期T开闭一次.当连续信号e(t)经过,采样开关S后,得到一时间t的离散信号,.上图中的其它信号,都是时间t的连续信号.于是定义:在系统中只要有一处的信号是时间t的离散信号,即为时间t的断续函数时,此系统就叫采样离散系统,简称离散系统.由于离散系统比连续系统多了采样开关,在系统中出现了离散信号等特点,给对系统的研究带来
2、一些新问题.下面先从研究,离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手,逐一介绍离散,系统的一些基本概念,所采用的数学工具及分析和设计离散系统的思路与方法.6.2 信号的采样和保持 6.2.1采样过程和离散信号的数学表达式 假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开,即闭合的时间等于零且闭合时的接通电阻为零,打开时的断开电阻无穷大,则称其为理想采样开关.如果采样周期为T的理想采样开关S的输入为单,位阶跃信号,则其输出为一单位脉冲序列,见下图:,上图中,如理想采样开关的输入为任一连续信号x(t),且当t0时,x(t)=0,则理想采样开关的输出如下图所示:,上图中,叫调幅脉冲序列,其拉氏变换式为:,对离散信号也
3、可进行频谱分析,由付立叶级数的定义,周期性的,单位脉冲序列可展开成下面级数:,式(3)中:,叫采样角频率,叫采样频率.将式,(3)代入式(1)得:,对式(4)进行拉氏变换:,令式(5)中的,得,的频谱表达式:,式(2)和式(5)是,的两种不同形式的拉氏变换表达式,式(2)中的,与,中的,建立了联系,而式(5)变成式(6),后,式(6)中的,是,的频谱,并可证明,是,的,周期函数.前已交代过,采样前的连续信号,的拉氏变换式为,其频谱表达式为,因此式(6)中的,与采样前的连续信,号的频谱建立了联系.由于,是,的周期函数,所以离散信,号频谱中每隔,重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号,经过采样
4、后的离散信号多出了许多高频分量,且离散信号频谱的幅值是采样前的连续信号频谱幅值的1/T.因此式(2)和式(6)各有各的使用场合.式(2)和式(5)虽都是无穷级数,但通常可将式(2)写成闭合形式,而却不能将式(5)写成闭合形式,下面举例说明,例:设,求,的拉氏变换式.,解:先用式(2)求.,再用式(5)求.,由上例可见,的拉氏变换式为,只有一个s=0的极点,而,的拉氏变换式为,有无穷多个极点,这给分析离散系统带,来很多不便,为此需给离散信号另一种变换工具,这就是以后要专门介绍Z变换的原因.一个离散系统往往有多个采样开关,各个采样开关最简单的动作方式叫同步等周期采样方式,这种方式在工程上用的较普遍
5、对系统的分析也较方便.以后讨论问题时,均以同步等周期采样作为各个开关的动作方式,6.2.2 信号的复现和采样定理及保持器,实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外,常需将离散信号转换成采样前的连续信号,如计算机控制系统中的D/A转换器就起这一作用.问题是,经采样的离散信号能否复原成采样前的连续信号?如能,应具备什么条件,用何装置实现?本小节就讨论这些问题.,由下图,可见,连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的,但离散信号所对应的连续信号却并不唯一,而有无穷多个,请见左图.,图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连连续信号,而经采样所得到的离散信号是相同的,即一个离散信号可对应无穷,多个连续信号.如
6、果采样周期足够小,即采样点足够密,则离散信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号,问题是采样周期应小到什么程度?,香农采样定理:要由离散信号完全复现出采样前的连续信,号,必须满足:采样角频率,大于或等于两倍的采样器输入连,续信号频谱中的最高频率,即:,对香农采样定理举例说明,设有叫钟形波的连续信号,其时域和幅频表达式为:,其幅频曲线如下图:,由式(6),离散的钟形波其幅频曲线如下图:,若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器,其幅频特性表为:,幅频曲线如上图,钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉,仅剩下主频分量.主频分量的波形与连续钟形波的波形一样,仅幅值为后者的1/T.因此可完全复
7、现连续信号.如采样角频率不满足采样定理,采样后钟,形波离散幅频谱见上图绿色波形,则可将,可见,由于幅频谱各分量互相,搭接,既使采用理想带通滤波器,也无法复现原连续信号.,上述具有锐截止频率的带通滤波器是无法实现的,实践中常采用,零阶保持器串接在离散信号后,对离散信号进行低通滤波以近似,复现连续信号,如右图所示:,离散信号如下图:,零阶保持器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下一个采样时刻止,从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的,脉动序列,如上图.,再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线,连接成上图中绿色虚线,此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚,线表示的原连续信号,且采样周期越小,
8、复现精度越高.,图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间,上滞后了T/2.经上分析,可得零阶保持器的传递函数为:,其频率特性表达式为,其频率特性曲线请见书上P.334图6.2.4,可见零阶保持器是一相位滞后的低通滤波器,高频分量尚不能完全滤尽,因此它只能近似地复原连续信号.D/A转换器就具有零阶保持器的作用,步近电机也具有零阶保持器的作用.零阶保持器还可用阻容网络实现.,6.3 Z变换和Z反变换,6.3.1 Z变换定义和求法由离散信号的拉氏变换式,可见,其含有,的超越函数,这给对离散系统的分析和计算带来很大困难,而应,用Z变换可解决这一难题.为此在上式中,令,则定义,为,的Z变
9、换,并以,下面举例说明求一些简单离散函数的Z变换.1.幂级数法 例1:求单位阶越函数的Z变换.,表示.有时为书写方便,也将,写成,解:,由,的Z变换,其中,是常量.,例2:求,解:,与,比较可知,表示相对时刻0滞后i个采样周期,或称滞后i拍,而,前的系数表示第i个采样时刻的采样值.这一,结论具有普遍性.,2.部分分式法 若x(t)由其拉氏变换式X(s)给出,且X(s)是s的有理函数并其分母多项式便于分解因式时,可将X(s)展开成部分分式,即:,式中,是X(s)各不相同的单极点,是,的留数,而,所对应的时间函数为,由例2,上式的Z变换式是:,因此,相应于X(s)的像原,函数x(t)的Z变换为,例
10、3:求,的Z变换式.,解:,3.留数法 若x(t)由其拉氏变换式X(s)给出,且X(s)是s的有理函数并其所有极点能较方便地求出,则还可根据拉氏变换中的s域卷积定理和复变函数中的留数定理求其Z变换.设,式(2)中:,表示,阶重极点,且,表示,的阶数.,为在极点,上的留数,当,为单极点时,留数为,当,为,阶重极点时,留数为,需注意的是,阶重极点只对应一个留数.,例:求,和,的Z变换.,解:,常用时间函数,的拉氏变换和Z变换见书上P.339表6.1,6.3.2 Z变换的基本定理,1.线性定理,实域位移定理 滞后定理,当,时,有,则上式为:,超前定理,当,时,有,则上式为:,3.初值定理,4.终值定
11、理,终值定理的使用条件为:,的所有极点都在Z平面上的,单位圆内,也即当,时,是收敛的.,5.复域位移定理,例:求,的Z变换.,解:由于,用,替换左式中的z得,6.复域微分定理,7.差分定理,后向差分,前向差分,8.叠分定理,9.卷积定理,6.3.3 Z反变换 由X(z)求出x(kT)或x*(t)叫Z反变换,一般记为:,需特别强调的是,由X(z)经Z反变换求出的是x(kT)或x*(t),而不是x(t).1.幂级数法 当X(z)是有理真分式或是有理严格真分式时,可采用长除法将X(z)展开成z的幂级数,进而求得x(kT)或x*(t).,例:求,的原函数x*(t).,解:,采用幂级数法,对于稍复杂的X
12、(z)很难写出x*(t)的通项式x(kT),所以也难写出x*(t)的闭合形式,2.部分分式法,当X(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式便于分解成z的一次因式时,可用部分分式法把X(z)变成分式和的形式,再由z变换表求出x(kT)或x*(t).由于z变换式中的分子一般均含有z因子,因此在对X(z)进行部分分式前,先将X(z)/z,再对X(z)/z进行部分分式,然后对X(z)/z部分分式和中的各项再乘以z,最后得X(z)的分式和.如X(z)/z含有r个相同的极点,(n-r)个各不相同的极点,则X(z)/z的部分分式和为如下形式:,式(1)中:,是X(z)/z的单极点,是相应于,的待
13、定系数,且,是X(z)/z的r重极点,r重极点有,r个待定系数,且,从而,例:求,的原函数.,解:,3.留数法当X(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式便于分解成z的一次因式时,可用留数法直接求出x(kT)或x*(t).如,(n-r)个各不相同的极点,含有r个相同的极点,则,需特别指出的是,r个相同的极点只对应一个留数.,例:求,的原函数.,解:,课外习题:P.412第6.3题,第6.3题(1)(2)(3)用部分分式法(4)(6)用留数法,6.4 离散系统的数学模型,6.4.2离散系统数学模型的模式之一_脉冲传递函数 1.脉冲传递函数的定义 定义:线性定常离散控制系统,在零初始条
14、件下,输出离散信号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比,称为该系统的脉冲传递函数,或叫Z传递函数,即:,G(z)的一般表达式为:,2.求法常用求法有三种.(1)由定义求G(z);(2)由G(s)求G(z),对于连续系统可得右图:,如,则,从而,因为,所以由定义得:,上图为:,当输入信号为任意脉冲序列时,也可由上式求出G(z).但需特别,指出的是,例:某环节(或系统)的S域传递函数为:,求其Z,传递函数.,解:,(3)由离散系统结构图求脉冲传递函数,A.开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数可分下面二种情况进行介绍.a.开环系统中各串接环节之间均有采样开关,如下图所示:,则上图的脉冲传递函数为:,b.开环系统中串接环节之间无采样开关,如下图所示:,
