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1、一、高阶显式单步法的构造方法,5.3 龙格-库塔（Runge-Kutta）法,显式单步法的一般形式：,为尽可能大的整数,Runge-Kutta方法,设 满足初值问题：,N级（阶）Runge-Kutta方法的一般形式：,其中,N=1：Euler方法,当N 1时，适当选取式中参数，使该方法的阶数尽量高,Runge-Kutta方法,二级方法：N=2,代入2（阶）Runge-Kutta方法的形式：,在点（xn,yn）处展开得：,比较两式，得,方程组有无穷多解：二级方法有无穷多种,常见的3种二级方法：,中点法（修正的Euler法）,取,Runge-Kutta二级方法,取,Heun（休恩）二级方法,要求
2、项的系数尽量相同,四级方法：N=4,局部截断误差,常见的2种四阶方法：,经典Runge-Kutta方法,Kutta四阶方法（见教材）,解：,经典的四阶Runge-Kutta公式：,同保留5位的精确值完全一致：,二、变步长方法,基本思想：根据精度自动地选择步长,对于经典Runge-Kutta方法：,Step1:设从 出发，以 为步长，经过一步计算得到,Step2:取 为步长，再从 出发，经过两步计算得到,一、收敛性/*Convergence*/,5.4 单步法的收敛性与稳定性,对于初值问题 的一种,单步法 产生的近似解，如果,则称该单步法是收敛的。,对于任一固定的，均有,类似地可以定义隐式单步法
3、、多步法的收敛性,证明：,记,由截断误差的定义,因为单步法是 阶的：,满足,其中,二、绝对稳定性/*Absolute Stibility*/,计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响,首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:,若初值问题的单步法，,对于，存在 及，当 时，其差分方程实际数值计算公式,则称单步法是条件稳定的；若无h限制，则称为绝对稳定。,时，有,中的舍入误差 与 满足,单步法,（假设F与xn无关）是稳定的充要条件是上述差分方程的特征根ri满足,解：,特征方程的根是,当：,Euler格式是条件稳定的，稳定条件是：,显式Euler公式：,例3：以 为例讨论。,故是绝对稳定的。,显式Euler公式：,特征方程的根是,由于，所以：,经典的R-K公式：,特征方程的根是,当：,经典RK格式是条件稳定的，稳定条件是：,
