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1、第一章 随机事件与概率,第一节 随机事件及其运算,第二节 概率的定义及其确定方法,第三节 概率的性质,第四节 乘法公式与全概率公式,第五节 事件的独立性,确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定,确定,不确定,不确定,自然界与社会生活中的两类现象,例：向上抛出的物体会掉落到地上,明天天气状况,买了彩票会中奖,第一节 随机事件及其运算,1、随机试验与样本空间,相同条件下大量重复试验中呈现规律性的现象称之为随机现象或偶然现象，这种规律性称为统计规律性。,在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验称为试验，在概率论中，把满足以下条件的试验称为随机试验.,（1）试验在相同条件下是可重复的；（2
2、）试验的全部可能结果不止一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。,今后凡是随机试验简称试验，并记为E，,随机事件中有两个极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件。每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件。,基本事件是样本空间的单点集。复合事件是由多个样本点组成的集合。必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。不可能事件不含任何样本点，它就是空集。,2 随机事件与样本空间：随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。,上一页,下一页,返 回,例1.1.1 掷一颗均匀的骰子基本事件：出现k点,k=1，2，6复杂事件：A=
3、出现偶数点，B=出现奇数点，必然事件：=出现小于7的点不可能事件：=出现大于6的点,例1.1.2 观察某天到某商场购物的顾客数。令=来到k个顾客，k=0，1，2则=：k0,例1.1.3 在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命.=tt0；,表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生.,3、事件的关系及其运算,事件A1，A2，An 的和记为,或A1 A2 An,表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B.,上一页,下一页,返 回,表示事件A与事件B同时发生,称为事件A与事件B的积（交）事件，记为AB。积事件AB是由
4、A与B的公共样本点所构成的集合。,可列个事件A1,A2,An 的积记为A1 A2 An 或A1A2 An，也可简记为。,在可列无穷的场合，用 表示事件“A1、A2、诸事件同时发生。”,上一页,下一页,返 回,事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件。,显然有：,则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不可能同时发生。,基本事件是两两互不相容的。,上一页,下一页,返 回,则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。事件A的逆事件记为,表示“A不发生”这一事件。,对于任意的事件A，B只有如下分解：,上一页,下一页,返 回,A,B,B,A,A,B,B,A,A,B,B,A,A,上一页
5、,下一页,返 回,事件的运算律,（1）交换律：AB=AB，AB=BA,（2）结合律（AB）C=A（BC）,（3）分配律：A（BC）=（AB）（A C）,（AB）C=A（BC）,A（B C）=（AB）（AC）,（4）德摩根律（De Morgan）：,上一页,下一页,返 回,例1.1.4 利用事件的关系和运算律证明（），（）。,证：,（）,又,故原式成立,例2:设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：（1）A发生且B与C至少有一个发生；（2）A与B都发生而C不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；（6）A，B，C中至少有两个发生
6、。,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,第二节 概率的定义及其确定方法,1、频率,定义1:在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为,频率具有下列性质：,(1)对于任一事件A，有,(2),上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,2、古典概型,设随机试验E满足如下条件:试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为古典概型，也称为等可能概型。,古典概型 中事件A的概率计算公式为,上一页,下一页,返 回,例1.2.1 袋中装有外形完全相同的2只白球和2只黑球，依次从中摸出两
7、球。记A=第一次摸得白球，B=第二次摸得白球，C=两次均摸得白球。求A、B、C的概率。,=(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)共有12个样本点。,解：,A=(1,2)(1,3)(1,4)(3,1)(3,2)(3,4)B=(1,3)(2,1)(2,3)(3,1)(4,1)(4,3)C=(1,3)(3,1),P(A)=1/2，P(B)=1/2，P(C)=1/6。,故,例1.2.2 有10个电阻,其电阻分别为1,2,，10，从中任取出三个，以A表示“取出的三个电阻恰好一个小于5，一个等于5，一个大于5”这一事件，求P
8、(A).,P(A)=,解,例1.2.3 某城有N部卡车，车牌号从1到N，一人到该城去把N部卡车的牌号抄下，求A=“抄到最大牌号正好是K”的概率（1K N）。,解,例1.2.4 袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同外，其余无差异，现随机地把球一只一只地摸出，求A=“第k次摸出的一只球为黑球”的概率。（1kab）,解,例1.2.5 一批产品共有N件，其中有M件次品（MN），采用有放回和不放回两种抽样方式从中抽n件产品，问正好抽到K件次品的概率是多少？,有回放抽样,不放回抽样,（1）非负性：对任意A F，有P（A）0,例1.2.6 从古典概型的讨论，可得古典概率有如下基本性质：,(2)规范性：,
9、推论：,例1.2.7 一袋中装有N1个黑球及1只白球，每次从袋中摸出一球，并换入一只黑球，如此延续下去，问第k次摸球摸到黑球的概率是多大？,解：令A=第k次摸球摸到黑球。则=第k次摸到白球。,3、几何概型,若试验具有如下特征:,上一页,下一页,返 回,例5(约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(tT)后即离去,求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在T内任一时刻到达预定地点是等可能的),上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,当T=60，t=20时，概率P=5/9,例1.2.9 在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率,
10、解 设在（0，1）内任取两个数为x,y，则0 x1,0y1,令A表示“两个数乘积小于1/4”，则A=（x,y）0 xy1/4,0 x1,0y1,定义：,1.3、概率的性质,上一页,下一页,返 回,概率的性质：,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例1.3.2（配对问题）将n封写好的信随机装入n个写好地址的信封，求（1）没有一封配对的概率q0；（2）恰有r封配对的概率qr(rn)。,解：（1）记Ai=第i封信配对,i=1,2,进一步，可算得,P(Ai)=1/n,于是，由加法定理，得,若 充分大，则,上抛一对骰子25次，A“至少出现一次双六”B“完全不出现又六”,上抛 一次一对骰子有3
11、6种可能的结果(1,1),(1,2),(1,6);(2,1),(6,6)把依次上抛25次骰子结果的排列看成基本事件 总数：3625 则B的有利场合：3525 P(B)=3525/36250.4955 P(A)=1-P(B)=0.5045,下赌注问题：17世纪未，法国的 Chevalies Demere在赌博中感觉到，如果上抛一对骰子25次，则把赌注押到“至少出现一次双六”比把赌注押到“完全不出现双六”更有利，但他本人找不出原因，请计算该两事件的概率。,1.4 乘法公式与全概率公式,1、条件概率的定义,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例1.4.1 已知某家三胞胎小孩中有女孩，求至
12、少有一个男孩的概率（假定每个小孩是男是女是等可能的）。,解：三胞胎小孩的所有可能结果不难一一列出，即=（女，女，女），（女，女，男）（女，男，女），（男，女，女），（女，男，男），（男，女，男），（男，男，女），（男，男，男）共含8个样本点。,记A=三胞胎中至少一个是男孩，B=三胞胎中有女孩。,由看出,故,设P(A)0,则有 P(AB)=P(A)P(BA)同样,当P(B)0时,有：P(AB)=P(B)P(AB),2、乘法公式,乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:,上一页,下一页,返 回,例1.4.2 罐中有三个白球两个黑球,从中依次取出三个,试求取出的三个球都是白球的概率。,解：记Ai=第i
13、次取球得白球,易得,故,3、全概率公式与贝叶斯公式,上一页,下一页,返 回,全概率公式,上一页,下一页,返 回,贝叶斯公式,上一页,下一页,返 回,例1.4.3 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,又这四条流水线的次品率依次为0.05,0.04,0.03,0.02,现从出厂产品属任取一件，问恰好取到次品的概率为多少？,上一页,下一页,返 回,解：令A=任取一件出厂产品为次品,Bi=所抽产品中第i条流水线生产（i=1，2，3，4）,则,第四节 独立性,1、事件的独立性,定理,定义7:,定义8:,上一页,下一页,返 回,例1.4.4 由
14、以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.,由贝叶斯公式得,解 设A表示“患有癌症”，表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得P（A）=0.005,P()=0.995，P(BA)=0.95,P(）=0.95由此 P（B）=1-0.95=0.05,定义 对事件 A 与 B，若P(AB)=P(A)P(B)则称事件 A 与事件 B 相互独立（independence）。,
15、命题1 若事件 A,B 相互独立，且 P(A)0,则 P(BA)=P(B)。,证 明 由条件概率及独立性定义知,定理 2 若事件 A，B 相互独立，则,由此可推知,若P(A)0,P(B)0,则A、B 相互独立与A，,证 明,B 互不相容不能同时成立。,即,注 在应用中我们往往根据事件的实际意义来,判断事件的独立性。,定义:,上一页,下一页,返 回,特别，当n=3时,定义 设 A、B、C 是三事件，如果下面等式成立：,则称A、B、C三事件两两相互独立。,当三事件两两相互独立时，下面等式不一定成立：,推广到更一般情形,例1.5.2 设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这种高射炮同时
16、独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上.,解 设需要n门高射炮，A表示飞机被击中，Ai表示第i门高射炮击中飞机（i=1,2,n).则,例：假设我们掷两次骰子,并定义事件A=第一次掷得偶数,B=第二次掷得奇数,C=两次都掷得奇数或偶数,证明A,B,C两两独立,但A,B,C不相互独立.,证明：容易算出,上一页,下一页,返 回,2、贝努里试验模型,定义10:,上一页,下一页,返 回,定理1:,上一页,下一页,返 回,例1.5.5 对某种药物的疗效进行研究，假定这药物对某种疾病的治愈率p=0.8,有10个患此病的病人同时服用这种药，求其中至少6个病人治愈的概率P.,上一页,下一页,返 回,解：任一病人服用该药只有两种结果：治愈（A发生）或没有治愈（发生），且,因每个病人服药后是否治愈是彼此独立的，问题可归为10重贝努里概型。由概率的有限可加性,
