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1、一、近似计算,二、计算定积分,三、欧拉公式,第五节,函数幂级数展开式的应用,第十二章,两类问题:,1.给定项数，求近似值并估计精度;,2.给出精度，确定项数.,关健:,通过估计余项，确定精度或项数.,一、近似计算,常用方法:,1.若余项是交错级数，则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数，则放大余和中的各项，使之成为等比级数或其它易求和的级数，从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,例3,解,两式相减,得到不含有偶次幂的展开式:,考虑到舍入误差,计算时应取五位小数:,例4,解,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,二、计算定积分,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,
2、例5,解,收敛的交错级数.,例6,解,根据幂级数在收敛区间内逐项可积,得,取前四项的和作为近似值,其误差为,所以,则称 收敛,且其和为,绝对收敛,收敛.,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于,故知,二、欧拉(Euler)公式,定义:复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛.,当 y=0 时,它与实指数函数,当 x=0 时,的幂级数展式一致.,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论,微,还,写了大量力学,几何学,变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理,积分学原理等,为分析学的重,在数学的许多分支中都有以他的名,字命名的重要常数,公式和定理.,欧拉(1707 1783),
