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1、第三章 时序平滑预测法,昨日上证综合指数一天的变化情况；最近1年来人民币兑美元汇率的变化；1900年以来上海市年最高气温记录；,第一节、时间序列概述,一、时间序列时间序列是指社会经济现象在不同时间上的一系列指标值按时间先后顺序加以排列后形成的数列，又称动态数列。,二、时间序列预测法时间序列预测法是根据某个经济变量的时间序列，依据惯性原理，通过统计分析或建立数学模型进行趋势外推，以对该经济变量的未来可能值做出定量预测的方法。简而言之，时序分析是只利用时间序列的历史数据来预测此变量的未来值。,三、时间序列的分解TrendCycleSeasonal variationsIrregular fluct
2、uations,长期趋势指现象在一段较长的时间内，由于普遍的、持续的、决定性的基本因素的作用，使发展水平沿着一个方向，逐渐向上或向下变动的趋势。如公司销售量，人口变化，GNP等。,循环变动：周期较长，近乎规律的由高至低，再由低至高的周而复始的变动。,季节变动：指现象受季节的影响而发生的变动。其变动的特点是，在一年或更短的时间内随着时序的更换，使现象呈周期重复变化。如气候，用电量，冰激凌、电暖器的销售量。,不规则变动：临时的偶然的因素而引起的随机变动。例如自然灾害、战争等。如股票变化。,若一时序资料不含任何走勢成因，称此資料是平穩的(stationary）,加法模式Y=T+S+C+I四种变动因素
3、相互独立，时间数列是各种因素相加的总和。Y、T 是总量指标，S、C、I均是对T产生的偏差。乘法模式Y=T.S.C.I四种变动因素相互影响、交叉作用的关系，时间数列是各种因素相乘的总和。Y、T是总量指标，用原始单位表示；S、C、I为比率，用百分数表示。,四、时间序列预测法的特点,时间序列预测法是撇开了事物发展的因果关系去分析事物的过去和未来的联系。假定事物的过去趋势会延伸到未来；预测所依据的数据具有不规则性,五、时间序列预测法的主要步骤,时间序列预测的原理：实际数据的时间序列能够展示研究对象在一定时期内的发展变化趋势与规律，因而可以从时间序列中找出数量变化的特征、趋势以及发展规律，从而对变量的未
4、来变化进行有效地预测。,（一）收集、整理历史资料，编制时间序列,（二）确定趋势变动形态,（四）确定预测值,（三）选择预测方法,第二节、移动平均法,一、算术平均法简单算术平均法加权算术平均法,某零售企业某种商品四年的销售额如下表所示，请用算术平均法预测1999年的销售额。某商品1995年1998年的销售额及平均值,（）如果以1998年的每月平均值作为1999年的每月预测值，则有：（2）如果以19951998年的每月平均值作为1999年的每月预测值，则是将19951998年48个月的数据求和后，除以48，得到,二、几何平均法,三、移动平均法,移动平均法是在简单平均法的基础上发展起来的。将简单平均法
5、改进为分段平均，并且按照时间序列数据点的顺序逐点推移，这种方法称之为移动平均法。根据时间序列逐项移动，依次计算包含一定项数的平均数，形成平均数时间序列，并据此对预测对象进行预测。在短期预测中较准确，长期预测中效果较差。一次移动平均法 二次移动平均法,（1）、一次移动平均法,一次移动平均法是依次取时间序列的n个观察值进行平均，并依次移动，得出一个平均序列，并且以最近n个观察值的平均数作为预测值的预测方法。它分为简单移动平均法和加权移动平均法。,（一）简单移动平均法,计算方法：,各月销售额及移动平均值汇总表 单位：万元,某市汽车配件销售公司某年1月-12月的化油器销售量（只）的统计数据如表第二行所
6、示，试用一次移动平均法，预测下一年一月的销售量。,解：分别取N=3和N=5，预测公式,419,448,下个月的预测销售量,419 or448？,N 的选取,在实用上，一般用对过去数据预测的均方误差S 来作为选取N 的准则。,N=3,N=5,计算结果表明：N=5时，S 较小，所以选取N=5。预测下年一月的化油器销售量为448只。,N等于周期变动的周期时，可消除周期变化的影响。,N的性质,1）一次移动平均法一般只适应于平稳模式，当被预测的变量的基本模式发生变化时，一次移动平均法的适应性比较差。2）一次移动平均法一般只适用于下一时期的预测，即第t+1期的值。3）一次移动平均法预测时只考虑最近N期的数
7、据，而且各个数据的权重相等，把现实简单化了。加权移动平均法虽然弥补了这一不足，但是预测仍然存在滞后性。,一次移动平均法应用时应注意,(二)、加权移动平均法,基本思想：对近期数据给以较大的权重。,例如,更看重最近发生的事实,是在简单移动平均法的基础上，根据最近几期观察值对预测值的影响大小给予不同的权数，而以加权后的平均值作为下一期预测值的预测方法。,某商场1月份至11月份的实际销售额如表所示。假定跨越期为3个月，权数为1、2、3，试用加权移动平均法预测12月份的销售额。,(2)、二次移动平均法（Double Moving Average）,当时间序列的变化为线性趋势时，一次移动平均法的滞后偏差使
8、预测值偏低，不能进行合理的趋势外推。,构造二次移动平均数,当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。,当时间序列的变化为线性趋势时，一次移动平均法的滞后偏差使预测值偏低，不能进行合理的预测。例如，线性趋势方程为：,当 t 增加一个单位时间，Xt 的增量：,如果采用一次移动平均法计算，其预测值是：,从上可以得到，每进行一次移动平均，得到的新序列就比原序列滞后 b(N+1)/2。同理，二次移动平均值低于一次移动平均值，且二次移动平均值低于一次移动平均值的距离，
9、等于一次移动平均值低于实际值的距离。,可用如下方法进行预测：将二次移动平均数与一次移动平均数的距离加回到一次移动平均数上去作为预测值。如此改动后进行预测的结论将更加准确。,现在，我们根据移动平均值确定 at，bt,见书上p60,二次移动平均法不仅能处理预测变量的模式呈水平趋势时的情形，同时又可应用到长期趋势（线性增长趋势）。这是它相对于一次移动平均法的优点之所在。,二次移动平均法的预测模型是直线方程（一次方程），当实际值的变化趋势为二次或更高次多项式时，就要用三次或更高次的移动平均法，但此时可用其它更好的方法来做。,已知某产品前15个月的销售量下表所示。试预测下个月的产品销售量。,有明显的线性
10、趋势，不宜用一次移动平均法预测。利用二次移动平均模型进行预测。,预测步骤：选取N作一次移动平均序列作二次移动平均序列建立预测模型进行预测,（1）N 的选取：,用对过去数据预测的均方误差S 来作为选取N 的准则。取 N=3.,（2）作一次移动平均序列,3)作二次移动平均序列,（4）建立预测模型,当前期的序号为15，将第15期的一次、二次移动平均值代入上式，得,得线性预测模型为,（5）预测,求下个月的销售量预测值。下个月的周期序号为16，T=1，于是，,四、移动平均法的评价,优点：简单易行，计算方便,不足：（1）只用到 N 个数据。最近 N 个数据权重为1/N，其余为0。（2）每计算一次移动平均，
11、需存储最近N个观察数据，当需要经常预测时有不便之处。,应用举例,某企业某种产品2008年1至11月份的销售额如表所示。假设跨越期n=4，试用二次移动平均法分别 预测2008年12月份和2009年1-2月份（即T分别为1、2、3）的销售额,第三节 指数平滑法,一次指数平滑法 二次指数平滑法,一、一次指数平滑法,设时间序列,Mt-1是Xt-1，Xt-2，Xt-n的平均值，因此可以近似代表Xt-n,（1-a）t0,预测公式：,或,*在原预测值的基础上利用误差进行调整。,当期的一次指数平滑值作为下一期的预测值,思考 极端情况下=1 或=0,迭代可得，,的选取,0.10.50.9,(1)50.59049
12、(1)5 0.3125(1)5 0.00001,越大，序列衰减的越快，即远期数据影响越小,例,可以用不同 值下的指数平滑法进行预测，然后选择均方误差最小的 值作为正式进行预测时的平滑系数。,n 15，取,n 15，取最初几期数据的平均值。,初值 的选取,指数平滑法的特点：,权重,算术平均：所有数据权重均为1/n；一次移动平均：最近N期数据权重均为1/N，其他为0；指数平滑值：与所有数据有关，权重衰减，厚今薄古。,2.的大小对指数平滑序列的影响,与权数的衰减快慢有关：越大，衰减越快；,的平滑作用：越大，平滑作用越小（对应于1/n）；,与初值：越小，初值越重要。,某市19942005年某种电器销售
13、额如表，试预测2006年该电器销售额。,分别取=0.2=0.5=0.8,不同的，预测值不同，究竟 取何值，可通过计算它们的均方误差 S，选取使 较小 S 的那个 值。,当=0.2 时，,当=0.5 时，,当=0.8 时，,计算结果表明：=0.2 时，S 较小，故选取=0.2，预测2006年该电器销售额为：,现有某年1月至11月对餐刀的需求量。试用指数平滑法预测这一年12月份的需求量。,有滞后,或,二、二次指数平滑法,一次指数平滑法的缺点：适应于平稳模式；有滞后偏差。类似于二次移动平均法的原理，有二次指数平滑值,预测公式：,a=0.3,n 15，取,n 15，取最初几期数据的平均值。如,选取预测
14、误差最小的 值作为实际预测时的平滑系数。,的选取,初值的选取,某机床厂从1992年机床销售量数据如下表所示，预测2004年的销售量。,解：,设,由,得一次指数平滑序列见下表：,取,由,得二次指数平滑序列见下表：,预测公式：,指数平滑法工作流程图,三、讨论,1、一次指数平滑法与一次移动平均法在使用一次指数平滑法时，与使用一次移动平均法一样要注意到：数据应是相当平稳的，即其基本模式是水平模式；数据的基本模型发生变化时，这两种方法都不能很快地适应这种变化。,二次指数平滑法与二次移动平均法类似，它能处理水平模式的数据，也能处理长期趋势模式。,但无论是指数平滑法还是移动平均法，它们都还没有一个很好的办法
15、来确定N 或，而且它们均属于非统计的方法，难以使用确切的术语来加以评价。,2、二次指数平滑法与二次移动平均法,某企业某种产品2004年1-11月份的销售额如表所示,a取值分别为0.2、0.8，试运用一次指数平滑预测2004年12月份的销售额。,一次指数平滑预测表 单位;万元,第四节、差分指数平滑法,当时间序列具有直线趋势时，用指数平滑法会出现滞后偏差，因为数据不能满足要求。一阶差分-指数平滑模型二阶差分-指数平滑模型,a=0.2,一阶差分-指数平滑模型,二阶差分-指数平滑模型,第五节、自适应过滤法,为了使预测准确，必须选择最优权数，但是时间数列是逐期变化的，欲最优，也必须依据预测值和实际观测值
16、的误差调整权数。换言之，应该随时间数列的逐期变化，逐期修正移动平均预测模型，并且是反复修正，使预测误差最小。同样，指数平滑公式中的权数也需要加以调整。调整的方法就是用自适应过滤法。,一、自适应过滤法的预测公式,自适应过滤法的一个很重要的特点是经过逐次迭代，自回归系数可以不断调整，以使自回归系数达到最优化。调整公式：,二、自适应过滤法的基本步骤（1）首先确定模型阶数N（权数个数）（2）选择合适的滤波参数k（3）计算每一次残差e（4）根据残差e以及调整公式计算下一轮的系数（5）迭代直到取得合适的系数,滤波常数K的选择Widrow将其表述为：,例 假定有一时间序列如下表所示，用权数个数N=4的自适应过滤法求进行预测，模型为：,解答：,（1）由于权数N=4,首先确定滤波常数k。因此，取k=0.0008（2）初始系数：,（3）t的取值从P=4开始。t=4时：1）2）3）根据 调整系数：,这里，1）3）即完成了一次迭代（调整），然后t+1再重复以前的步骤。（4）因此，当t=5时：1）2）,3）根据 调整系数：（5）这样进行到t=10时，但由于没有t=11的观察值Y11，因此,无从计算。第一轮的迭代就此结束，转入把现有的一组作为初始系数，重新开始t=4的迭代过程。这样反复进行，到预测误差（指一轮预测的总误差）没多大改进时，就认为获得了一组最佳系数，以此获得的系数作为最优系数进行模型预测：,
