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1、数学建模讲座,2011.08.15,内容1.商业圈问题2.社会分配问题3.数学建模的应用领域4.数学建模常用算法,1.商业圈问题,奥运会、世博会迷你超市如何布局？一个城市中，商业如何布局才能为大多数市民提供方便？农村中，如何选择集市贸易的地点以便扩大物资交流？若从经营者的角度考虑，一个商店要获得利润就应吸引足够的顾客，应该估计商店能吸引多远的顾客，高峰销售时间的交通是否方便？,设A、B为两个商业中心，T表示某顾客去商业中心购物的概率，我们应该考虑T应与哪些因素有关？假设T只依赖于两个关键参数：一、是顾客到商业中心的距离D，二、是商业中心的吸引力F。即Tf(D,F)。为了寻找两个中心的影响区域，
2、我们应该确定顾客到每个中心去的可能性相等的点，即等概率点，它由如下方程确定f(D1,F1)=f(D2,F2),由T的含义，它随F及D变化。当F增加时，说明中心的吸引力增加，想去的人应该增多，即T应该增大；再根据一般人就近购物的心理，当D增加时，T应该减少。我们取的形式为,2.社会分配问题,社会分配是一个很复杂的问题，我们在这里不可能精确而详尽地讨论，只是给出一种初等思路，使其比定性或政策性阐述更说服人。这对于理解数学建模或许有所启发。我们先讨论一种最简单的情况：假定社会构成只有富人和穷人。,首先要解决的是如何描述富人和穷人的分配状态，即用恰当的数学结构，将富人和穷人的分配状态表示出来。在这个问
3、题中我们面临两数量：富人的收入；穷人的收入。设富人的收入为x；穷人的收入为y。显然有 X0，y 0。几何意义：给定的（x，y）表示平面坐标一个点，所有的（x，y）表示x y平面，即是说：富人和穷人所有的分配状态，一定落在x y平面上。考虑条件 X0，y 0。则分配状态可以进一步明确在x y平面的第一象限上。,补充穷人和富人收入差距的条件：xy分配状态集合：D=（x，y）|X0，y 0，xy y x=y D X0，y 0，xy 450 o x 几何描述 图1,问题仍然没有解决，补充分配上限条件：设某年国家最多给出k元作为分配总额，即 x+y k，那么我们有分配状态集合：D=（x，y）|X0，y
4、0，xy，x+y k k x=y x+y=k D k 几何描述 图2,思考：问题解决没有，我们应该补充什么条件？补充利益最大化条件1：富人和穷人都希望将国家能够用于分配的所有钱分光。即x+y=k 分配状态集合：D=（x，y）|X0，y 0，xy，x+y=k 几何描述 图3,问题解决了没有？还没有，但我们己逐渐接近目标，迄今为止，这个思路是令人鼓舞的。现在先停下来讨论我们己经获得的结果：1、穷人和富人都认可的分配状态，一定落在线段上；2、穷人和富人都希望可分配的K越大越好，x+y=k 向右上方移动，符合全民利益，有利于建立和谐社会；反之大家都不高兴，社会存在动荡因素。因此，发展经济，提高总分配分
5、额是民心所向。3、但是，如果K再大，穷人仍然一无所有，社会分配严重不公也会影响社会稳定，因此，还必须进一步研究问题。,要解决的问题：富人和穷人都满意的分配状态存不存在？如果存在，是否唯一？如何寻找这些双方满意的状态？方法1：由国家定出一个分配方案，比如为Y=x，其中为分配比例，如何确定？抽样调查，用最小二乘法确定。方法2：确定满意度函数Y=f(x)，给出分配通道，则分配通道与直线族x+y=k 的交点为所求。,由x+y=k 和 Y=x 得x=k/1+思考题试将问题扩展为当社会分为穷人、中产阶级、富人时的情形，讨论社会分配问题,3.数学建模的应用领域,工业领域，IT领域做算法，能源领域做数值计算，
6、模拟，物流领域做网络或优化，影视领域做图像动画建模等。高新科技对这一块需求也是非常大的，比如飞机的风洞，导弹、航空航天器的空气动力方面，需要学数学的人做流体等方面的模拟和计算等等。人类对规律的探索必将日益精细，这也为数学家们提供了一个更好的平台将数学更加广泛地应用于实际。,金融工程也是非常重要的一个方向。近几十年金融工程方面的理论发展，数学扮演很重要的角色，以概率论为基础，结合了统计、偏微分方程论、计算数学、数学优化理论。金融理论的研究在过去30年已经持续大量的发展，数学可应用于：风险资产(包含股票、债券、原物料商品等)价格模型的建立及统计分析、衍生性商品价格理论的建立及计算、最佳投资组合理论
7、的研究。,做代数和数论方向，侧重于偏计算机编码和密码方面。不少大公司特别是IT方面，需要一批人做密码和计算机算法方面的研究。几何方向，如果侧重于低维拓扑，未来可以计算机图形方面。分析主要是调和分析和非线性分析方面，他们在应用方面有不少的需求。调和分析中的傅里叶变换和小波分析，在声音的去噪方面、图像的存储等有广泛的应用。非线性分析与凸分析是最近三十年开始重视起来的。由于自然界、物理、工程、管理、及经济上的很多问题都是非线性，为了解决这些问题，数学家利用非线性泛函分析与极值分析为主要研究工具，发展出一套的非线性分析及凸性分析数学理论来解决上述诸多问题。,微分方程方面的应用可谓是最为突出，他是应用数
8、学中最为主要的方向。微分方程一直被广泛应用于自然科学、工程、及各种数学问题中。近年来，生物科学领域（如系统生物学、生理学）、经济及金融等领域，非常希望吸纳一批微分方程领域方面的专家，通过建模，去利用微分方程刻画和研究现实世界的问题。,离散数学的应用：计算机方面的算法、编码、密码、数据库、形式语言、VLSI设计，无不与离散数学息息相关。生物学里的分子生物学，在破解基因密码的过程里，长度极大的符号链，如何操作比对特定的样式，如何判定其中所包含的讯息、噪声或冗员，都成为极具挑战性的离散数学问题。经营管理方面，在全球经济与金融市场上的活动瞬息万变，如何谋求最大的利润，如何掌握最低的风险，数学规划在经营
9、管理上已不可或 缺。,科学计算方面，特别偏微分方程的数值解方面，已经在气象预报、空气动力学、量子力学、半导体组件之设计、光子晶体、冷原子现象、燃烧科学得到了广泛地应用。在超级计算机及并行计算机，科学计算随着计算的更新而改变其计算方法，更是功不可没，并极大地推动了应用领域的研究进程。利用有限元素法等，模拟大气海洋、风洞实验等大尺度流场，更是起着至关重要的作用。,4.数学建模常用算法,7.1数学建模网上资源,4.2数学建模竞赛中曾用方法,4.3数学建模中常用算法,蒙特卡罗方法（MC、计算机随机模拟方法、统计试验方法）数据拟合、参数估记、插值等数据规划类算法（线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、
10、动态规划等）图论（Dijkstra、Floyd、Prim、最大流、两分匹配等）计算机算法程序设计：动态规划、回溯搜索、分枝界定、分治算法等,最优化理论三大非经典算法：模拟退火算法（SA）、神经网络算法（NN）、遗传算法（GA）。网格算法和穷举法，网格算法是连续问题中的穷举法，该算法宜于用速度快的计算机和高级语言来做。连续问题离散化，如差分代微分，求和代积分等。数值分析方法：函数数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解法、数值代数、微分方程数值解等。图象处理算法。智能优化算法，常用：遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法（TS）,01年A题，要求会读BMP图形。BMP取自位图BitMaP的缩写，也称为DIB（与设备无关的位图）是微软视窗图形子系统（Graphics Device Interface）内部使用的一种位图图形格式，它是微软视窗平台上的一个简单的图形文件格式，图像上的一个像素可以用一个或者多个字节表示。BMP 可与jpg.jpeg.gif.png.进行图片格式转换,谢谢,
