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1、运用导数研究函数,一、导数的简单应用,二、函数的单调性,三、函数极值,四、函数的最大值、最小值,五、函数的凹凸性,由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:,二、函数的单调性,解,三、函 数 的 极 值,函数的极值是个局部性的概念.,我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:,首先考察下列函数的图形:,(单调增加),(单调减少),(单调减少),(单调增加),定理,列表讨论单调性,判别极值:,解,极小,极小,极大,定理,定理,解,解,综上所述,在工程技术和生产实践中,常常需要考虑,在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最,省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映,到数学上就是最优化问题.,优化技术应
2、用价值很大,三、函 数 的 最大、最小值,怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？,求最值的几个特殊情况,极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.,计算函数值:,(端点值),解,设容积(体积)为 V,半径为 r,高为 h.,用料最省即指容器的表面积 A 最小.,应用题,解,又 A 的最小值一定存在,故当要求的容器的容积为 A 时,选择半径,极小,利用导数的性质证明不等式是一种常用的,技巧,它包含以下几个部分:,利用微分中值定理,利用泰勒公式(二阶以上的),利用函数的单调性,利用函数的极值和最值,某出版社出版一种书,印刷 x 册所需,成本为,每册售价 p 与,假设书可全部售出,问应将价格 p 定为多,少才能使出版社获利最大？,由经验公式,得,于是,得唯一极值可疑点,解,即为 Q 的最大点.,从而应将价格 p 定为,此时最大获利为,将一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁.,问应如何选择矩形截面的高 h 和宽 b才能使梁的抗,弯截面模量 W 最大？,由力学知识,梁的抗弯截面模量为,由右图可以看出：,解,问题归结为求函数 W 的最大值：,由于梁的最大抗弯截面模量一定存在,故当,梁的抗弯截面模量最大.,
