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1、4.6 逐步回归分析,最优选择的标准,最优回归方程的含义：,（1）方程中包含所有对因变量影响显著的变量；,（2）方程中所包含的自变量要尽可能地少。,设n为观测样本数，,为所有自变量构成的集合，,为X的子集。,（1）均方误差s2最小,达到最小,（2）预测均方误差最小,达到最小,（3）,统计量最小准则,达到最小,（4）AIC或BIC准则,或,达到最小,（5）修正,准则,达到最大,4.6.2 选择最优回归子集的方法,（1）选择最优子集的简便方法：逐步筛选法（STEPWISE）向前引入法或 前进法（FORWARD）向后剔除法或后退法（BACKWARD）,（2）计算量最大的全子集法：,R2选择法（RSQ
2、UARE）Cp选择法（CP）修正R2选择法（ADJRSQ）。,最小R2增量法（MINR）最大R2增量法（MAXR）,（3）计算量适中的选择法：,逐步回归的基本思想与步骤,基本思想：逐个引入自变量，每次引入对y影响最显著的自变量，并对方程中的老变量逐个进行检验，把变得不显著的变量逐个从方程中剔除，最终的回归方程中既不漏掉对y影响显著的变量，又不包含对y影响不显著的变量。,前进法（FORWARD）,原理：,事先给定挑选自变量进入方程的显著性水平，按自变量对因变量y的贡献由大到小依次挑选自变量进入方程，直到方程外没有显著的自变量可引入为止。,该方法的特点是：自变量一旦被选入，就永远保留在模型中。,图
3、4.1 逐步回归的基本步骤,步骤（1）将全部m个自变量，分别与因变量y建立 一元回归方程；（2）分别计算这m个一元回归方程中回归系数 的检验统计量F，记为：，取最大值，若，停止筛选；若，选入，不 妨设 是，进入步骤（3）；,（3）分别将自变量组，与因变量y建立二元回归方程，计算回归方程中x2，x3，xm的回归系数检验统计量F，记为：，取其最大值，若则停止筛选，y与 x1之间的回归方程就是最优的回归方程；若，选进xk2，不妨设xk2是 x2，进入步骤（4）。,（4）对已经选入模型的变量，x1，x2，如同前 面的方法做下去，直到所有未被选入模型 的自变量的F值都小于相应的临界值为止，这时的回归方程
4、就是最优回归方程。前进法的一般步骤：假设已进行了l步筛选，并选入自变量x1，x2，xl，现进行第l+1步筛选：分别将自变量组，与y建立l+1元回归方程；回归,方程中 的回归系数检验统计量记为：，记若，停止筛选，上一步得到的回归方程，即为最优的回归方程；若，将 选进模型，进行下一步筛选。前进法的缺点：不能反映自变量选进模型后的变化情况。,4.6.3.2 后退法（BACKWARD）,原理：,事先给定从方程中剔除自变量的显著性水平，开始全部自变量都在模型中，然后按自变量对y的贡献由小到大依次剔除，直至方程中没有不显著的变量可剔除为止。,该方法的特点是：自变量一旦被剔除，就不再进入模型，,（1）建立全
5、部自变量x1，x2，xm对因变量y的回归方程，对方程中m个自变量的回归系数b1，b2，bm进行F检验，相应的F值记为：，取最小值若，没有自变量可剔除，此时的回归方程就是最优的回归方程；若，剔除xk1，不妨设xk1是xm，进入步骤（2）。,（2）建立x1，x2，xm-1与因变量y的回归方程，对方程中自变量的回归系数进行F检验，相应的F值记为：，取最小值，若则无自变量可剔除，此时的回归方程即最优的回归方程；若，将xk2 从模型中剔除，不妨设xk2就是xm-1，进入步骤（3）；,（3）重复前面的做法，直至回归方程中各变量回归系数的F值均大于临界值，即方程中没有变量可剔除为止，此时的回归方程就是最优的
6、回归方程。后退法的一般步骤：假设已经进行了l步剔除，模型中的自变量为x1，x2，xm-l，现进行第l+1步剔除：建立x1，x2，xm-l 对y的回归方程，对方程中x1，x2，xm-l的回归系数进行F检验，相应的F统计量记为：，取最小值,，若则停止筛选，y与x1，x2，xm-l 之间的回归方程即为最优的回归方程；若则剔除，不妨设 为，进行下一步筛选。后退法的缺点：开始把全部自变量都引入模型，计算量大。,4.6.3.3 逐步筛选法,原理：,该方法在前进法的基础上，引进后退法的思想。即对每一个自变量随着其对回归方程贡献的变化，随时地引入或剔除模型，使得最终回归方程中的变量对y的影响都是显著的，而回归
7、方程外的变量对y的影响都是不显著的，该方法即通常所说的逐步回归法。,设y是因变量，x1，x2，xm是所有自变量，yi，xi1，xi2，xim（i1，2，n）是独立抽取的n组样本。设自变量被选进模型的显著性水平为，被剔除模型的显著性水平为，且。逐步筛选法的步骤为：（1）计算离差矩阵S,（2）逐步筛选自变量第一步筛选：计算各自变量的贡献：取最大值 对 的作用是否显著进行统计检验：F（1，n-1-1）,若，则结束所有自变量皆与y无关，不能建立回归方程；若，则 将xk1选入模型，并将S转化为，进行第二步筛选；,其中,第二步筛选:按 计算各自变量的贡献模型外自变量的贡献：模型中自变量 的贡献：取模型外自
8、变量的最大贡献值，即,计算 F（1，n-2-1），其中，若，则筛选结束，第一步中所建立的回归方程即最优回归方程；若，则选 进入模型，将 化为，进行第三步筛选；,其中,第三步：从第三步开始，先检验已经引入方程中的自变量是否满足显著性水平，若有不满足显著性水平 的自变量，依次剔除最不显著的，再从方程外挑选满足著性水平的最显著的自变量进入模型（即从第三步开始，先进行变量的剔除，再进行变量的选进）。,逐步回归法筛选自变量的一般步骤为：假设已经进行l步筛选，并且已经选入p个自变量，相应的残差平方和为，离差矩阵为则第步的筛选过程为：,（a）计算自变量的贡献：（b）检验已选入的自变量是否显著 取模型中变量的最小值：,计算 F（1，n-p-1）,其中 若，将xk剔除，转入（d）；若，则xk不能被剔除，转入（c）；,（c）取模型外变量贡献的最大值，计算若，则筛选结束，转入（3）；若，则选入xk，转入（d）；,（d）将 化为，进行第l+2步筛选。,其中,4.7 可化为线性回归的曲线回归,（1）对于双曲线型函数：,（2）幂函数型：,幂函数图形,（3）指数曲线型：,（5）S型函数：,S型曲线图形,（6）多项式回归：,，,
