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1、8/8/2023,1,第三节 对数频率特性,8/8/2023,2,一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）,Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。,波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：,横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非线性刻度。每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程（或十倍频），用dec表示。类似地，频率 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：,由于 以对数分度，所以零频率线在处。,8/8/2023,3,更详细的刻度如下图所
2、示,8/8/2023,4,纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 值标注在纵坐标上。,相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。,一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。,当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：,8/8/2023,5,使用对数坐标图的优点：,可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。可以将乘法运算转化为加法运算。所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，
3、可以很容易的写出它的频率特性表达式。,8/8/2023,6,幅频特性：；相频特性：,比例环节：;,对数幅频特性：,相频特性：,比例环节的bode图,8/8/2023,7,积分环节的频率特性：,频率特性：,积分环节的Bode图,可见斜率为20/dec,当有两个积分环节时可见斜率为40/dec,8/8/2023,8,惯性环节的Bode图,惯性环节的频率特性：,对数幅频特性：，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：,低频段：当 时，称为低频渐近线。,高频段：当 时，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。,当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐
4、近线，当 时，趋近于高频渐近线。,低频高频渐近线的交点为：，得：，称为转折频率或交换频率。,可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。,8/8/2023,9,惯性环节的Bode图,图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。,8/8/2023,10,惯性环节的Bode图,波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：,当 时，误差为：,当 时，误差为：,最大误差发生在 处，为,8/8/2023,11,相频特性：,作图时先用计算器计算几个特殊点：,由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数
5、幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。,惯性环节的波德图,8/8/2023,12,振荡环节的频率特性：,讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：,振荡环节的频率特性,幅频特性为：,相频特性为：,对数幅频特性为：,低频段渐近线：,高频段渐近线：,两渐进线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。,8/8/2023,13,相频特性：,几个特征点：,由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-90)点是斜对称的。对数幅频特性曲线有峰值。,振荡环节的波德图,8/8/2023,14,
6、对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率。,该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时，。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。,谐振频率，谐振峰值,当，。,因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。,8/8/2023,15,振荡环节的波德图,左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。,8/8/2023,16,微分环节的频率特性：,微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：,频率特性分别为：,微分环节的频率特性,8/8/2023,17,纯微分环节的波德图,纯微分：,8
7、/8/2023,18,一阶微分：,这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为,一阶微分环节的波德图,8/8/2023,19,一阶微分环节的波德图,8/8/2023,20,幅频和相频特性为：,二阶微分环节：,低频渐进线：,高频渐进线：,转折频率为：，高频段的斜率+40dB/Dec。,二阶微分环节的频率特性,8/8/2023,21,二阶微分环节的波德图,8/8/2023,22,延迟环节的频率特性：,传递函数：,频率特性：,幅频特性：,相频特性：,延迟环节的奈氏图,8/8/2023,23,小结,比例环节和积分环节的频率特性 惯性环节的频率特性低频、高频渐进线，斜率-20，转折频率 振
8、荡环节的频率特性波德图：低频、高频渐进线，斜率-40，转折频率 微分环节的频率特性有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节 延迟环节的频率特性,8/8/2023,24,二、开环系统的Bode图,8/8/2023,25,三、最小相位系统和非最小相位系统,最小相位系统和非最小相位系统,定义：在右半S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。,在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，并且最
9、小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具有内在的关系。,对最小相位系统：w=0时j(w)=-90积分环节个数；w=时j(w)=-90(n-m)。不满足上述条件一定不是最小相位系统。满足上述条件却不一定是最小相位系统。,8/8/2023,26,最小相位系统和非最小相位系统,例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。,8/8/2023,27,最小相位系统和非最小相位系统,设，可计算出下表，其中 为对数坐标中 与 的几何中点。,8/8/2023,28,由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当w从0变化至时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(
10、如 j1(w)。而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w)；或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致(如 j4(w)。,最小相位系统和非最小相位系统,8/8/2023,29,最小相位系统和非最小相位系统,在最小相位系统中，对数频率特性的变化趋势和相频特性的变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地确定其相频特性。伯德证明，对于最小相位系统，对数相频特性在某一频率的相位角和对数幅频特性之间存在下述关系：,式中j0(w)为系统相频特性在观察频率w0处的数值，单位为弧
11、度；u=ln(w/w0)为标准化频率；A=ln|G(jw)|；dA/du为系统相频特性的斜率，当L(w)的斜率等于20dB/dec时，dA/du=1；函数为加权函数，曲线如图,8/8/2023,30,最小相位系统和非最小相位系统,上述公式称为伯德公式。该式说明对于最小相位系统，其幅频特性与相频特性紧密联系的，当给定了幅频特性，其相频特性也随之而定，反之亦然。因此，可只根据幅频特性（或只根据相频特性）对其进行分析或综合；而非最小相位系统则不然，在进行分析或综合时，必须同时考虑其幅频特性与相频特性。,在u=0(w=w0)时；,在u=2.3，即在w0上下十倍频程处，；,偏离此点，函数衰减很快。,即相
12、频特性在w0处的数值主要决定于在w0附近的对数幅频特性的斜率。,在u=0.69（在w0上下倍频程处，；,8/8/2023,31,最小相位系统和非最小相位系统,例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。,解：由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节；在w=1处，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6在w=2处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1)在w=7处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1),8/8/2023,32,最小相位系统和非最小相位系统,例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示,试确定系统的传递函数。,解：由于低频段斜率为-40dB/dec所以有两个积分环节；在w=0.8处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/0.8+1)在w=30处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/30+1)在w=50处，斜率由-40dB/dec变为-60dB/dec，故有惯性环节(s/50+1),8/8/2023,33,最小相位系统和非最小相位系统,在w=4时，L(w)=0，这时可以不考虑转折频率在w=4以上的环节的影响,
