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1、,1满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是正比例函数型抽象函数2满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是对数函数型抽象函数3满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的指数函数型抽象函数,研究性学习“五步曲”,课题：抽象函数,数学复习教学中的,1已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，则 f(x),是(,),A,A奇函数B偶函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数,2函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)(,),A13,B2,13C.2,2D.13,C,3设奇函数 f(x)满足：对xR 有 f(
2、x1)f(x)0，则 f(5),_.,0,4已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数，对 xR 都有 f(2,x)f(2x)，当 f(3)2 时，f(2 013)的值为_.,2,5已知函数 f(x)的定义域为 R，并且对任意正数 x，y 都有f(xy)f(x)f(y)，则,(1)f(1)_；,0,考点1 正比例函数型抽象函数,例1：设函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(x)f(y)，,且 x0 时，f(x)0，f(1)2.,(1)求证：f(x)是奇函数；,(2)试问在3x3 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；,如果没有，说出理由,(1)证明：令xy0，则有f(0)2f(
3、0)f(0)0.令yx，则有f(0)f(x)f(x)即f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)解：任取x10f(x2x1)0.f(x1)f(x2)yf(x)在R上为减函数因此f(3)为函数的最小值，f(3)为函数的最大值f(3)f(1)f(2)3f(1)6，f(3)f(3)6.函数最大值为6，最小值为6.,(1)正比例函数型抽象函数的一般步骤为 f(0)0f(x)是奇函数f(xy)f(x)f(y)单调性,(2)小技巧判断单调性：设x10f(x2x1)0f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)，得到函数单调递减,【互动探究】1已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)
4、f(x)f(y)，则下,列错误的是(,),D,考点2 对数函数型抽象函数,(1)求证：f(x)是偶函数；,(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)解不等式 f(2x21)2.,例2：已知函数f(x)的定义域为x|xR，且x0，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0，f(2)1.,(1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x，x21，则有f(x)f(x)f(1),证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法(作差法、作商法)，函数的单调性是比较大小的常用方法运用不等式性质时应从结论出发，寻找
5、解题的切入点,【互动探究】,当 f(x)lgx 时，上述结论中正确结论的序号是_.,考点3 指数函数型抽象函数,例3：定义在 R 上的函数 yf(x)，f(0)0，当 x0 时，f(x)1，,且对任意的 a，bR，有 f(ab)f(a)f(b),(1)求证：f(0)1；,(2)求证：对任意的 xR，恒有 f(x)0；(3)求证：f(x)是 R 上的增函数；,(4)若 f(x)f(2xx2)1，求 x 的取值范围,(1)指数函数型抽象函数的一般步骤为 f(0)1,(4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)又f(x)是R上的增函数，3xx20.0 x3.,(2)小技巧判断
6、单调性：设x1x2，x1x20，则f(x1x2)1.f(x1)f(x2x1x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)，得到函数是增函数,【互动探究】3设指数函数 f(x)ax(a0 且 a1)，则下列等式正确的有,_(填序号),考点4 一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y),例4:,解：,解法2：,例5：,解：,例6 若奇函数 f(x)在(0,+)上是增函数，又 f(-3)=0，则 x|x f(x)3 或-3 3或 x-3 D.x|0 x3或-3 x0,【说明】f(x)是个抽象函数，千万不要去想 f(x)的解析式.思维取向不能先考虑一般，而是在一些特殊条件上“不择手段”.,【手段1】（直
7、选和筛选并用）取 x 3，有 f(x)0.得x f(x)0，故 x 3不符合要求.按奇函数的对称性，x-3也符合要求.从而淘汰A、B、C.答案是D.这就是所谓的淘汰法.,【例】若奇函数 f(x)在(0,+)上是增函数，又 f(-3)=0，则 x|x f(x)3 或-3 3或 x-3 D.x|0 x 3或-3 x 0,【手段2】（直选与筛选并用）,按对称性，0 x 3也为所求.答案为D.,由 f(-3)=0 知 f(-2)0.此时有x f(x)0.故-3 x 0为所求.,由 x f(x)0，知点（x，y）在第二或第四象限.,【说明】手段2变成了直选法.和手段1一样，都可通过观察法完成，不需动笔.
8、,【手段3】（图解法1）据题设条件作 y=f(x)草图(右).在图中找出 f(x)与x异号的部分,可以看出 x f(x)0的解集为 x|0 x 3或-3 x 0，选D.,【例】若奇函数 f(x)在(0,+)上是增函数，又 f(-3)=0，则 x|x f(x)3 或-3 3或 x-3 D.x|0 x 3或-3 x 0,【手段4】（图解法2）f(x)为奇函数，作 x 0时的图象(右)即可.不等式 x f(x)0.f(x)0，借助图象得0 x 3.由对称性得x f(x)0的解集为 x|0 x 3或-3 x 0，故选D.,【例】若奇函数 f(x)在(0,+)上是增函数，又 f(-3)=0，则 x|x
9、f(x)3 或-3 3或 x-3 D.x|0 x 3或-3 x 0,【手段5】（特殊值法）借助图（2）,取特殊值 x=2,知 f(2)0符合条件 x f(x)0，故0 x 3为所求.按对称性，-3 x 0也为所求.答案为D.,【手段6】（特殊性法）f(x)是奇函数，则 x f(x)是偶函数.答案区间关于原点对称.从而淘汰A和B.取特殊值 x=4，f(4)0，则有x f(x)0，从而淘汰C.答案为D.,【手段7】（特殊式法）符合抽象函数 f(x)性质的一个具体函数为 y=x-3（x 0时），令 xy=x(x-3)0，解得 0 x 3按对称性还有-3 x 0答案为D.,【说明】手段6，体现的“不择
10、手段”极为有趣.朦胧中碰上了“列不等式”和“解不等式”.此时，若你要去问这个理论，则你不是个书呆子，就是个老学究.,当然，解决抽象函数的方法和技巧多种多样，如：合理赋值，整体思考，借助特殊点，利用递推式等。有的时候需要运用多种方法和手段。,思想与方法,6转化与化归思想解信息给予题,例题：对定义在0,1上，并且同时满足以下两个条件的函数,f(x)称为 G 函数：,对任意的x0,1，总有f(x)0；当x10，x20，x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立已知函数g(x)x2与h(x)2xb是定义在0,1上的函数(1)试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)若函数h(x)是G函数，求实数b组成的集合,一般地，一个抽象函数都对应着我们非常熟悉的基本函数，在中学阶段，我们主要学习正比例函数型、对数型、指数型以及三角函数类型，因此在学习时应把握对题型的联想与分析，力争事半功倍,f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2)f(x1)f(x2)、f(x1x2)f(x1)f(x2)分别是正比例、对数、指数函数的抽象形式，解题时可以由具体函数的性质知道我们思考的方式及解题的步骤，但不能用具体函数来代替抽象的解析式,
