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1、第七讲 假设检验,一、基本概念,二、单个正态总体的检验,三、两个正态总体的检验,五、非正态总体大样本参数检验,六、Pearson检验法,四、似然比检验,一、基本概念,在自然科学和社会科学等中，常常要对某,些重要问题做出回答：是或否。,如月球比地球,早形成吗？,一种新药对某种病有效吗？,某种,股票会涨吗？,新推出的电视节目收视率高吗？,等等。,为了回答这些问题，,我们需要对感兴趣,的问题进行试验或观察获得相关数据，,根据这,在这节，给出一般的Neyman-Pearson假设,检验构架。,原假设和备择假设,布或关于参数 的推测，,称为,假设，,其中 是 的非空真子集。,在一个假设检验中，常涉及两个
2、假设。,所,要检验的假设称为原假设或零假设，,记为。,而与 不相容的假设，称为备择假设或对立,假设，,记为。,对参数统计模型 而,言，原假设和备择假设这对矛盾的统一体,称为假设检验问题。,在假设检验问题中，,不相交的非空子集，,一定成立。,保留这个的灵活性，,不仅是理论的,需要，,也有其实际意义。,则称,为简单假设(Simple Hypothesis)，,否则称为复,合假设(Composite Hypothesis)，,对备择假设也有,简单假设和复合假设。,拒绝域、接受域、检验统计量,检验一个假设，就是根据某一法则在原,假设和备择假设之间做出选择，,而基于样本,做出拒绝 或接受 所依赖的法则称
3、为检验。,这样一个检验就等同于将样本空间分成,两个互不相交的子集 和，,绝，,称,为接受域(Acceptance Region)。,这样检验和拒绝,域就建立起一一对应关系。,为了确定拒绝域，,往往根据问题的直观背,景，,寻找合适的统计量，,要,能由统计量 确定出拒绝域，,这样的统,计量 称为检验统计量(Test Statistic)。,两类错误,由于样本时随机的，,进行检验时可能犯,两类错误，,其一是当 为真时，却拒绝，,称为第一类错误，,其概率为,其二是当 为假时，却接受，,称为第二类,错误，,其概率为,定义8.1,一个检验的功效(Power)定义为当 不,成立时拒绝 的概率，,即,检验的显
4、著性水平,当样本容量 固定时，,要减少犯第一类错,误的概率，,就会增大犯第二类错误的概率；,反,之，,若要减少犯第二类错误的概率，就会增大,犯第一类错误的概率。,即就是说当样本容量固,定时，,不可能同时减少犯两类错误的概率，,这,是一对不可调和的矛盾。,类错误的概率在给定的范围内，,寻找检验使得,犯第二类错误的概率尽可能的小，,即就是使检,验的功效尽可能的大。,这样就是在给定一个较,小的数(一般取为0.01,0.05,0.1等)，,在满足,的检验方法中，,寻找使得功效,尽可能大的检验方法。,Neyman-Pearson检验原理就是控制犯第一,将 称为显著性水平。,假设检验的步骤,（1）,提出假
5、设检验问题，,（2）,根据，选取适当的统计量，并确定其,分布；,（3）,给定显著性水平；,（4）,确定拒绝域；,（5）,由样本观测值，计算统计量的值；,（6）,作出推断，是拒绝，还是接受。,二、单个正态总体的检验,（一）总体方差已知时，总体均值的检验,检验统计量,的简单样本，,设 是来自正态总体,方差 已知，,考虑检验问题,给定显著性水平，,拒绝域,（双侧假设检验）,单侧假设检验,(1),(2),(3),(4),理论上，可以证明(1)与(2)、(3)与(4)的检验法,相同，,而(1)和(3)的拒绝域容易求出，分别为,（二）总体方差未知时，总体均值的检验,检验统计量,给定显著性水平 下，拒绝域为
6、,给定显著性水平 下，拒绝域为,给定显著性水平 下，拒绝域为,（三）总体方差的检验,的简单样本，,设 是来自正态总体,考虑检验问题,当 未知时，,检验统计量为,拒绝域,当 已知时，,检验统计量为,拒绝域,类似的也有相应形式单侧检验，在此就不列出。,三、两个正态总体的检验,设 是来自正态总体,的样本容量为 简单样本，,是来,自正态总体 的样本容量为 的简单,样本，且两样本独立。,考虑检验问题,两个正态总体均值的检验,给定显著性水平，,拒绝域,（一）已知时，总体均值的检验,（二）未知但相等，总体均值的检验,当 成立时，检验统计量为,拒绝域,其中,两个正态总体方差的检验,考虑检验问题,当 未知时，,
7、当 成立时，检验统计量为,拒绝域,当 已知时，,当 成立时，检验统计量为,拒绝域,类似的也有相应形式单侧检验，在此就不列出。,0.0 0.0-1.0-0.1-0.4 0.0-1.9 0.3 0.0 1.2 0.0-1.0 0.9-1.4-0.5,标准正态分布 产生的随机数，,One-sample t-Testdata:x1 t=-1.2344,df=14,p-value=0.2374 alternative hypothesis:true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval:-0.7117407 0.1917407 sam
8、ple estimates:mean of x，-0.26,四、似然比检验,设 是来自密度函数（或分布率）,为 的总体的简单样本，,考虑检验,问题：,一个比较直观且自然方法是考虑似然比,当 较大时，拒绝原假设，,，这种检验方法称为似然比检验。,例,对正态总体，方差已知，检验问题,似然比为,否则，接受,令，,则,拒绝域为,因为 均已知且，,的单调增函数，故由等式,所以 是,可得。,这样检验统计量可取为,这是通常的单边 检验。,对一般的假设检验问题,检验的拒绝域为,定义似然比检验统计量为,其中临界值 可由,确定。,下面也通过例子说明其具体应用。,例,似然比,对正态总体，方差未知，检验问题,这里,当
9、 未知时，其极大似然估计分别为,当 已知时，极大似然估计为,所以似然比为,若令，,则,当 成立时，,且 是 单调增函数，因此由,可得临界值为,这样检验统计量为,拒绝域为,当 成立时，,且 是 单调增函数，因此由,当然也可令,，则,这是通常的双边 检验。,拒绝域为,这样检验统计量也可以为,可得临界值为,可以证明这时的 检验和 检验是等价的。,从上述两个例子可得求似然比检验的一般步骤：,（1）,在 内求 的极大似然估计，,在 内求 的极大似然估计,（2）,计算并化简,使成形式，,满足两个要求，,是 的单调增函数或单调减函数；,当 成立时，的分布完全已知。,（3）,增函数时，由 求临界值,减函数时，
10、由 求临界值,（4）,检验统计量取为,增函数时，拒绝域为,减函数时，拒绝域为,其一：,其二：,注：,（1）,正态总体下参数的检验基本都是似然比检验,（2）,似然比检验可用于检验样本来自两个不同类,型分布之一，,样本来自正态总体族,样本来自双参数指数分布族,其中,如,（3）,似然比检验适应面广，,（4）,一般情形下，,难获得，,总体均可以构造，,且构造的检验常具有一,些优良性质，,如在某种意义下具有最有性。,因此临界值的求法有两种。,其一，,利用Monte-Carlo模拟计算；,其二，,当样本,容量 很大时，,利用似然比统计量的极限,分布近似给出。,正态总体和非正态,似然比统计量的精确分布很,五、非正态总体大样本参数检验,依书上的例子说明检验过程,六、Pearson()检验法,考虑总体分布的检验问题,假设分布函数 的形式已知，但包含 个,未知参数，,用极大似然法给出未知参数估计。,Pearson检验法亦称为 检验法，用于检验,假设总体服从某个预先给定的分布。,具体检验过程如下：,（1）,将 分成 个互不相交的区间,其中 可分别,取,（2）,计算概率,并计算，称为理论频数。,（3）,计算样本 落在 中的个数,称为实际频数。,（4）,计算检验统计量的值,（5）,对给定的，查临界值。,（6）,推断：,若，则拒绝,若，则接受,
