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1、1,第10章 重积分,10.1 二重积分,一、引例,二、二重积分的定义及可积性,三、二重积分的性质,四、曲顶柱体体积的计算,五、利用直角坐标计算二重积分,六、利用极坐标计算二重积分,七、二重积分换元法,Page 2,解法:类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,Page 3,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中任取一点,小曲
2、顶柱体,Page 4,4)“取极限”,令,Page 5,2.平面薄片的质量,有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.,度为,设D 的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“大化小,常代变,近似和,求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域.,Page 6,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,Page 7,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“大化小,常代变,近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,Page 8,二、二重积
3、分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数,Page 9,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,Page 10,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,例如,在D:,上二重积分存在;,在D 上,二重积分不存在.,Page 11,
4、三、二重积分的性质,(k 为常数),为D 的面积,则,Page 12,特别,由于,则,5.若在D上,6.设,D 的面积为,则有,Page 13,7.(二重积分的中值定理),证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域D上,为D 的面积,则至少存在一点,使,使,连续,因此,Page 14,例1.比较下列积分的大小:,其中,解:积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位,从而,于直线的上方,故在 D 上,Page 15,例2.判断积分,的正负号.,解:分积分域为,则,原式=,猜想结果为负但不好估计.,舍去此项,Page 16,例3.判断,的正负.,解：,当
5、,时，,故,又当,时，,于是,Page 17,例4.估计下列积分之值,解:D 的面积为,由于,积分性质5,即:1.96 I 2,Page 18,例5.,估计,的值,其中 D 为,解:被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,Page 19,8.设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,Page 20,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,Page 21,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次
6、积分计算,Page 22,例6.求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,Page 23,内容小结,1.二重积分的定义,2.二重积分的性质,(与定积分性质相似),3.曲顶柱体体积的计算,二次积分法,Page 24,被积函数相同,且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,Page 25,2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,的大小顺序为(),提示:因 0 y 1,故,故在D上有,Page 26,3.计算,解:,Page 27,4.证明:,其中D 为,
7、解:利用题中 x,y 位置的对称性,有,又 D 的面积为 1,故结论成立.,Page 28,五、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,Page 29,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,Page 30,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,Page 31,例7.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,
8、解法2.将D看作Y型区域,则,Page 32,例8.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,Page 33,例9.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,Page 34,例10.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,Page 35,例11.计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,Page 36,解：,原式,例12.,给定,改变积分的次序.,Page 37,对应有,六、利用极坐标计算二重
9、积分,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D 为,Page 38,即,Page 39,设,则,特别,对,Page 40,若 f 1 则可求得D 的面积,思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),Page 41,例13.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,Page 42,注:,利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D 为 R2 时,利用例7的结果,得,故式成立
10、.,Page 43,例14.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,Page 44,例15.计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,Page 45,定积分换元法,七、二重积分换元法,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,Page 46,证:根据定理条件(2)(3)可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换T,在 xoy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,Page 47,同理得,当h,k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平
11、行四,边形,故其面积近似为,Page 48,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,Page 49,例16.计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解:令,则,Page 50,例17.计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S.,解:令,则,Page 51,例18.试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,Page 52,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,Page 53,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,Page 54,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,Page 55,思考与练习,1.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y互换,Page 56,2.交换积分顺序,提示:积分域如图,
