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1、第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,X-型积分区域,Y-型积分区域,将二重积分化为二次积分,与直系下二次积分互化,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,直角坐标系下化二重积分为二次积分,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,由此得：,则,的值等于以D为底，,以曲面,为顶的圆柱体的体积，,若D为Y 型区域,则,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.
2、,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,穿过区域且平行于y 轴的,直线与区域边界相交不多于两个交点.,直线与区域边界相交不多于两个交点.,计算中的技巧（问题）：,、先画积分区域草图；,、有无奇偶对称性:,X型区域的特点：,穿过区域且平行于x 轴的,Y型区域的特点：,关于x奇，D关于y轴对称,关于y奇，D关于x轴对称,关于x偶，,关于y偶，,D关于y轴对称,D关于x轴对称,称f(x,y)关于x为奇，,称f(x,y)关于x为偶，,、交换积分次序：,、题目本有要求；,、出现,、二重积分恒等式证明。,、积分原则：与定积分计算基本一致；,（先对 x 积分，视 y 为常量，,
3、对y 积分，视 x 为常量),、何时不得不将积分域D分块？,穿入穿出不唯一。,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,例4.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,例5.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例6.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,例7求I=,解:由被积函数可知,取D 为X 型域:,因此取D 为Y 型域:,先对 y
4、积分不行,例8求I=,解:被积函数关于x为奇，关于y为奇,因此取D 分为两部分:,例9.计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆 r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线=常数,分划区域D 为,设,则,1.极点在积分区域外,设,则,设,则,2.极点在积分区域的边界上,3.极点在积分区域的内部,若 f 1 则可求得D 的面积,思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),适合类型：,、积分域为圆域或圆域的一部分（包括环形域）；,、被积函数含,因子。,注意的问
5、题：,、必须画出积分区域图；,、特别注意积分向量,限的确定问题；,、不要忘记,积分限的决定：,一般来讲，定好 是比较关键的,表示常数,曲线任意一点到极点的距离,积分限的确定（一般),、假设极点在闭区域D内，则：,、若极点在区域D之外或边界上：看区域D,夹在,与,之间，,以此来定,的范围（通过图形来看）；,注意：,、外层一定是常数限；,、选定,还是r,r积分限的确定,（仍用穿刺法）具体做法：,在D内任找一点，从原点0出发向外作射线,（要注意此时与D边界的交点不能多于两个），,先穿出的的边界解出的,为下限，后穿出,的边界解出的r为上限。,、上限必须大于下限；,例1.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,例2：求I=,其中A为D的面积,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,极坐标系情形:若积分区域为,若积分域较复杂,可将它分成,若干X-型域或Y-型域,则,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,
