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1、第4章单向板刚度与强度的细观力学分析,4.1引言,(1)复合材料单向板是宏观均质、线弹性、正交各向异性，无初应力的。(2)各组分材料是均质、线弹性、各向同性的。(3)增强材料的形状和在基体中的分布是规则的。(4)增强材料与基体材料在界面处应变连续，不发生相对滑移。(5)复合材料与组分材料均处于小变形状态。,图4-1单向板代表性体积单元,图4-2编织单向板代表性体积单元,E1的确定：,混合率表达式与试验的吻合程度8090%,并联模型,4.2用材料力学方法分析刚度,4.2.1表观弹性模量E1的确定,12的确定：,W/2,混合率表达式,4.2.2表观泊松比的确定,f,m/2,E2的确定：,串联模型,
2、与试验值相比，较小，由于纤维随机排列，兼有串联和并联的成分,基体模量正化,4.2.3表观弹性模量E2的确定,4.2.4表观切变换量的确定,图4-6 随纤维体积比的变化情况,图4-7代表性体积单元承受剪切,夏米斯和森德克把求刚度的微观力学方法分成许多类：网络分析法，材料力学法纤维提供所有纵向刚度，基体提供横向剪切刚度及泊松比比较保守，但仍有人用，缠绕复合材料独立模型法，用能量极值原理的变分法精确解，统计法，离散单元法半经验法和微观结构理论,4.3.1能量原理,4.3用弹性力学能量原理分析刚度的上下限,弹性力学的极值法Paul首次提出用弹性力学的极值法来讨论度多相材料弹性模量的上、下限分析合金（均
3、匀分布和没有优先方向）复合材料是各向同性的基体的性能用m表示，弥散相的性能用d表示,满足上述条件最简单的关系是：,时，混合率得出复合材料模量的上限,假设复合材料组分对复合材料刚度起的作用正比于它们的刚度和体积含量,从复合材料的柔度1/E必须附和Vm=1时为基体的柔度 1/Em和Vd=1时为弥散材料的柔度得到柔度的混合率,由此得到的复合材料的弹性模量为下限,对于单向拉伸试验：,应变能可以写成以下两种形式,最小余能原理：（应力）物体表面作用着力（力矩），令 满足应力平衡方程和指定的边界条件的应力场，即容许应力场，令Uo是由应力应变关系式：,和应变能表达关系式,得出的在 下的应变能，而且由规定载荷引
4、起的物体的实际应变能U不超过Uo,不一定满足位移连续条件和位移边界条件,4.3.2下限的确定,对于单向载荷试件，满足该载荷和应力平衡方程的内应力场为：,应变能可写为：,最小势能原理（应变）物体表面作用力为零外的表面有给定的位移，令 是任一满足指定位移边界条件的相容应变场，即容许应变场，U*是由应力应变关系式：,和应变能表达关系式,得出的在 下的应变能，因此，由规定的位移得到的物体中的实际应变能U不超过U*,应力平衡方程和指定的边界条件的应力场,4.3.3上限的确定,使单轴向试件承受一个伸长L，是平均应变，L是试件长度，相应于试件边界上的平均应变的内应力场为：,给定应变场下，基体的应力为：,弥散
5、材料的应力为：,代入应变能方程得到应变能表达式：,由于,泊松比是未知的，因此E的上限也是未知的，按最小势能原理，应变能表达式U*必须对不确定的常数求极小值，以确定E的界限，即：,时,由于基体和弥散相是各向同性的,总是正值,时，U*相应于以泊松比为函数的最大、最小或拐点,U*为绝对极小值,如果,Paul的方法主要用来解决各向同性复合材料，也可以用来解释纤维增强复合材料，与材料力学方法得到的结果相一致,4.3.4、的上下限,若对于代表性的体积单元承受的宏观应力为，其余的均为零，可用同样的方法讨论表观弹性模量的上、下限。,玻璃/环氧复合材料,上限,下限,E,Em,Ef,Vf,4.4用弹性力学精确解法
6、分析刚度,哈欣和罗森的纤维增强材料的几何形状和复合材料圆柱体模型,规则的空心纤维六角形阵列,哈欣和罗森的纤维增强材料的几何形状和复合材料圆柱体模型,不规则的空心纤维随机阵列,纤维方向模量可用混合率横向模量的表达式十分复杂,精确解利用弹性力学知识，求出精确解是十分复杂而困难的，但可以用其结果来比较材料力学方法的正确性多用圣维南半逆解法来解决很大程度上取决于复合材料的几何形状和纤维、基体的特性,独立模型,仅研究一个插入物复合材料圆柱体的插入物的体积含量和复合材料中全部纤维的体积含量是相同的，与纤维的具体阵列无关,实际纤维阵列示意图相互接触和不接触,C=0 孤立的纤维和树脂接触,C=1 孤立的基体纤
7、维接触,对于考虑纤维接触的弹性力学方法，蔡得到了垂直于纤维的模量,修正的混合律K:纤维不同线系数0.91,哈尔平-蔡方程（Halpin-Tsai）近似表达比较复杂的微观力学结果的内插法很简单容易设计能概括虽说是有限的但是比较精确的微观力学结果有可能将各种学派统一起来确定比较困难,M：模量E2、G12、23：与纤维几何形状、填实几何形状和载荷形状有关的的复合材料中纤维增强作用的量度,表4-1硼/环氧树脂复合材料弹性常数实验值与计算值比较,4.5用接触时的弹性力学解法分析刚度,4.6用半经验法预测刚度,用材料力学方法分析刚度，其代表性体积单元与实际情况相差较大，致使计算值与实验值差别较大。用弹性力
8、学精确解法给出的计算值接近实际，但公式太复杂，不便于工程应用。为此，可在理论分析公式的基础上，引入一些由实验确定的经验系数，修正理论公式使其尽可能的简化并与实验值相吻合，这就是半经验法。,对纤维增强复合材料强度的预报，还没有达到研究刚度预报那样的接近问题实质的水平强度准则：宏观的强度预报，不是破坏模型，微观强度分析：材料微观破坏的机理描述材料的强度，与材料的局部性能和应力状态有关，与材料的整体性能和整体应力状态关系相对较小，材料的不均匀性影响较大而刚度的情况相反材料发生破坏，总是从最薄弱的环节开始，而后引起整个材料的破坏,4.7单向板沿纤维方向的抗拉强度,4.7.1均匀强度纤维,考虑因素组份材
9、料在物理、化学、力学性能上的差别界面的粘结情况材料的本构关系不同，破坏规律也不同纤维和基体的弹性、塑性、弹塑性、粘弹性等体积分数残余应力的大小，空隙和裂纹的大小和分布纤维在基体中的分布合排列载荷的历史和现状很多描述纤维增强基体材料的强度特征的有益的模型表示了对现象的实际观察和力学描述的高度结合,微观力学研究，是用纤维、基体和界面性能特点和有关几何描述来进行复合材料强度预报纤维增强复合材料的强度，包括各根纤维或纤维束的强度合同一根纤维在沿长度方向的强度分布，基体和界面因裂纹和缺陷带来的影响等，都是具有随机的性质，因此采用统计力学的方法可能会得到更好的结果纤维大多相对为脆性（承力），基体相对为韧性
10、（保护、传递）相反的情况：陶瓷增韧,等强度纤维模型凯利(Kelly)和戴维斯(Davies)：纤维有相同的强度并比基体脆,若复合材料有多于某一最小纤维体积含量V，则纤维变形达到其相应最大应力时，复合材料达到极限强度,4.7.2变强度纤维,上述处理忽略了纤维力学性能的分散性。实际上，纤维与纤维之间的强度是变化的，每根纤维的强度也有所变化，这依赖于对它进行测量时所取的长度。对于纤维强度的分散性，应采用统计的方法，可用韦伯分布函数来描述纤维的强度分布,纤维的最大拉伸应力,基体应变等于纤维最大拉伸应变时的基体应力,如果假定在纤维方向的纤维应变等于基体应变,则复合材料的极限强度为,如果纤维增强材料得到的
11、强度大于单一基体得到的强度则,纤维起增强作用而必须超过的临界Vf值为,对于较小的纤维体积份数复合材料不可能按式子，因为可能没有足够的纤维来控制基体的伸长,这样纤维受到较小载荷时将有高应变并将断裂,否则，复合材料全部破坏，如果,整个复合材料将在纤维断裂以后破坏，实用的Vf的最小值为,如果纤维在同一应变时断裂，基体尚能承受复合材料的全部载荷，即：,基体控制,纤维控制,假设的前提缺陷的存在需用统计理论,复合材料的强度（最大复合材料应力）作为纤维体积含量的函数给出,基体控制,纤维控制,纤维控制,一般来讲纤维体积份数在0.40.7Vf太小，达不到增强基体的效果，反而因纤维的存在和断裂消弱了基体的强度Vf
12、太大，超过0.785后，对正方点阵排列纤维来说，彼此接触，对随机排列来说纤维密集，基体的粘结作用变得很差，材料脆性增大，断裂韧性明显下降,统计强度分布纤维罗森模型代表性体积单元由若干根纤维和一根断裂纤维构成在加载和随之发生的纤维断裂时，代表性体积单元或者改变尺寸或者在一个固定体积单元尺寸内增加纤维断裂的根数,可以推断断裂纤维承受着足够高的应力,以使其在表面缺陷处开裂,断裂纤维引起断裂部分周围的应力重新分布应力必须从断裂纤维的一端通过断裂部分传递到另一端完成这一传递机理的是在断裂纤维一个很小范围的基体内产生高的剪应力由于基体传递剪应力的作用，纵向纤维应力从断裂处的零增加到与复合材料中其它任意一根
13、纤维一样的应力，断裂纤维周围纤维的应力增加20%左右,P,沿纤维方向的压缩强度,通过光弹试验验证，破坏形式主要是纤维屈曲，屈曲波长正比与纤维直径,基体产生横向拉压变形，Vf较小,基体产生剪切变形，Vf较大,两者之间,4.8单向板沿纤维方向的抗压强度,纤维的刚度远比基体的刚度高,忽略纤维的剪切变形,根据铁摩辛柯（Timoshenko）和盖尔（Gere）研究的能量方法,能量法的一个重要原理：计算的屈曲载荷是真实屈曲载荷的上限。我们需要求出两种情况屈曲载荷中最低的一个控制量。单根纤维在垂直于纤维方向屈曲时的位移用级数形式表示为：,根据铁摩辛柯和盖尔研究,假设对特定的正弦波，第m个波时，P达到极小值,
14、纤维屈曲波数,2,3,37,38,39,可推导,试验观测：m比较大,假设和纤维相比，基体基本不受力,假定基体在纤维方向上承受和纤维相同的应变,剪切模型,假设剪应变仅是纤维方向坐标函数,横向位移与横向坐标无关,剪应变与y无关,2C,h/2,u(-c),u(c),纤维剪应变可以忽略,已知,基体应变能仅由于剪切,屈曲波长是L/m，波长相对于纤维直径h大时,相对较小,拉伸型,剪切型,弹性,非弹性,纤维体积含量,压缩强度,玻璃/环氧复合材料在较宽的纤维体积含量范围内：剪切模型有最低的复合材料强度纤维强度较低时：拉伸模型控制复合材料强度,图4-15单向板沿纤维方向压缩破坏模式a)异相型屈曲模式b)同相型屈
15、曲模式,图4-16弯折区,图4-19压缩引起的剪切破坏,4.9.1沿垂直纤维方向的抗拉强度,在沿着垂直纤维方向承受拉伸载荷时，单向板的破坏可能由基体或界面的拉伸破坏所致，只有在极个别情况下，即如果纤维高度取向且在横向很弱，复合材料才能因纤维横向撕裂而破坏。这样，单向板在沿垂直纤维方向拉伸的破坏模式可以描述为：基体拉伸破坏；界面脱粘和(或)纤维撕裂。一般说来，这两种破坏模式同时发生，即单向板某些部分发生基体破坏，而另外部分发生界面脱粘和(或)纤维撕裂破坏。,4.9单向板沿垂直纤维方向的抗拉强度、抗压强度与面内抗剪强度,4.9.2沿垂直纤维方向的抗压强度,沿垂直纤维方向压缩破坏，一般是基体剪切破坏
16、，有时伴随界面破坏与纤维压裂。实验表明，沿垂直纤维方向的抗压强度大约是抗拉强度的47倍,沿纤维方向的拉伸强度单向纤维增强复合材料随载荷增加的变形情况纤维和基体都是弹性变形纤维继续弹性变形弹基体塑性变形纤维和基体都是塑性变形纤维断裂继而复合材料断裂,纤维和基体的相对脆性或韧性,纤维,基体,弹性,弹性,塑性,塑性,4.9.3面内抗剪强度,在面内剪切载荷下，单向板的破坏模式是：基体剪切破坏；伴随界面脱粘的基体剪切破坏；界面脱粘。,复合材料的破坏分两个途径发生纤维周围基体剪应力可以超过允许的基体剪应力按在断裂纤维之间传递应力的机理有高的剪应力而使纤维和基体之间的粘结发生破坏纤维断裂实际上可横过基体扩展
17、到其它纤维,由此引起整个复合材料断裂如果纤维和基体之间的粘结很好以及基体的断裂韧性较高,那么纤维可连续直到累计足引起整个复合材料的破坏,所有纤维在同一位置破坏（Vf0.65)介于以上两者之间,ref时基准应力，是纤维和基体性能的函数是纤维强度的韦伯尔分布统计参数,应用统计理论：Rosen得到,复合材料的断裂强度超过单一纤维的断裂强度复合材料吸收能量的能力超过纤维吸收能量的能力,极限载荷分数,断裂数,纤维强度与纤维长度成反比,达到极限载荷的一半时，纤维开始断裂,4.10纤维-基体的界面,图4-20说明界面重要性的层状复合材料,4.11结论与讨论,单向板刚度与强度的细观力学分析，是将各向异性单向板视为具有增强相、基体相与界面相的多相各向异性非均质材料，并认为组分材料是均值各向同性的。从组分材料的性质、含量等细观参量来估算复合材料单向板整体的表观力学性能。,
