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1、第2章 向量与矩阵,2 矩阵的概念与运算,下页,1 向量的概念与运算,第1节 向量的概念与运算,定义1 n个数a1，a2，an组成的有序数组(a1,a2,an)，称为n维向量，记为a，其中a i(i=1,2,n)叫做向量的第i个分量.,a=(a1,a2,an)，,写成列的形式，称为列向量，记为,n维向量写成行的形式，称为行向量，记为,下页,1.1 向量的概念,下页,(-a1,-a2,-an)T，,为向量a的负向量，记作-a.,称向量,(0,0,0)T,为零向量，记作o.,称向量,如果向量a=(a1,a2,an)T,与向量b=(b1,b2,bn)T都是,n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等
2、，记作ab.,本教材约定向量的形式为列向量，即,向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):,(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+o=a(4)a+(-a)=o,(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=k(la)(8)1a=a,1.2 向量的运算,定义2 设,则,（1）,下页,向量的加法,向量的数乘,下页,向量的减法,设a、b都是n维向量，,利用负向量可定义向量的减法为:,a-b,即对应分量相减.,=a+(-b),例1设,解：,解：,a+2g+(-a)=b+(-a)；两边加a 的负向量,a+(-a)+2g
3、=b+(-a)；交换律,o+2g=b-a；性质4,a+(-a)+2g=b-a；约定（减法）,2g=b-a；性质3,*2g=*(b-a)；数乘运算,1g=*(b-a)；恒等变换,g=*(b-a)；性质8,下页,例2设,说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.,(计算结果，略.),定义3 设a=(a1,a2,an)T与b=(b1,b2,bn)T是两个n维向量，则实数,称为向量a和b的内积，记为(a,b)，或aT b.,向量的内积,例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,则a与b 的内积为,(a,b),=(-1)2+10+0(-1)+23,=4.,下
4、页,内积的性质 设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数.(1)(a,b)=(b,a)；(2)(ka,b)=k(a,b)；(3)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)；(4)(a,a)0，当且仅当a=o时，有(a,a)=0.,下页,向量的长度,定义4 对于向量a=(a1,a2,an)T，其长度(或模)为,例如，向量a=(-3,4)T的长度为,向量长度的性质（了解）(1)|a|0，当且仅当a=o时，有|a|=0；(2)|ka|=|k|a|(k为实数)；(3)三角不等式:|a+b|a|b|；(4)对任意向量a，b，有|(a,b)|a|b|.,下页,长度为1的向量称为单位向量.,向量的单位化（标准化
5、）,下页,例4n维单位向量组e1，e2，en，是两两正交的：(ei,ej)=0(ij).,例3零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.,正交向量组,定义5 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角 定义为：若(a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直),.,下页,定义6 如果m个非零向量组 a1，a2，am两两正交，即(ai,aj)=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1，a2，am的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组.,下页,第2节 矩阵的概念与运算,2.1 矩阵的概念,先看下面的两个同解方程组(1)和(2)：,2.1.0 问题的提出,下页,显
6、然方程组(2)比(1)简洁,求解容易,那么,怎样完成由(1)到(2)的变化呢？,(1),(2),方程组(1),行最简形矩阵,方程组(2),初等行变换,矩阵,在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：,(a11 a12 a1n b1),(a21 a22 a2n b2),(am1 am2 amn bm),这些有序数组可以构成一个表,这个表就称为矩阵.,2.1.1 矩阵的概念,下页,其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素.一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵.mn矩阵A简记为 A(aij)mn 或记作 Amn.,定义1 由 m
7、n 个数 aij(i1,2,m；j1,2,n)排成一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作,下页,零矩阵 所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母 a，b，x，y 等表示.例如,a=(a1 a 2 an)，,负矩阵,为A的负矩阵,记作 A.,下页,如下形式的 n 阶矩阵称为上三角形矩阵.,三角形矩阵,如下形式的 n 阶矩阵称为下三角形矩阵.,方阵 若矩阵 A 的行数与列数都等于 n，则称 A 为 n 阶矩阵，或称为 n 阶方阵.,下页,对角矩阵,如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵.,对角矩阵可简单
8、地记为A=diag(a11,a22,ann).,单位矩阵,如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 En 或 E.,定义2 矩阵相等：设A(aij)，B(bij)为同阶矩阵，如果aijbij(i1,2,m；j1,2,n)，则称矩阵A与矩阵B 相等，记作AB.,下页,2.2 矩阵的运算,定义1 设A与B为两个mn矩阵,A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，记为AB.即C=A+B.,下页,2.2.1 矩阵的加法,例1设,A+B=,3+1 5+3 7+2 2+0,2+2 0+1 4+5 3+7,0+0 1+6 2+4 3+8,4 8 9 2,4 1 9 10,0 7 6 11,.,
9、矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则A+B=(aij+bij)mn。,下页,设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：,（1）交换律：A+B=B+A;,（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);,（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;,矩阵的减法可定义为:,显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，则A=B.,（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.,下页,定义2 设A(aij)为mn矩阵,则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA.即,2.2.2 数与矩阵的数法,下页,矩阵的数
10、乘：设A(aij)mn，则kA=(kaij)mn.,例2设,3A,33 35 37 32,32 30 34 33,30 31 32 33,9 15 21 6,6 0 12 9,0 3 6 9,.,下页,(5)k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1A=A.,设A，B，C，O都是mn矩阵，k，l为常数，则,矩阵数乘的性质,性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.,下页,解：3A-2B,2 6 4 0,4 2 10 14,0 12 8 16,9 15 21 6,6 0 12 9,0 3 6 9,.,7 9 17 6,2-2 2-5,0-9-
11、2-7,9-2 15-6 21-4 6-0,6-4 0-2 12-10 9-14,0-0 3-12 6-8 9-16,下页,解：,A+2X+(-A)=B+(-A)；两边加A 的负矩阵,A+(-A)+2X=B+(-A)；交换律,O+2X=B-A；性质4,A+(-A)+2X=B-A；约定（减法）,2X=B-A；性质3,*2X=*(B-A)；数乘运算,1X=*(B-A)；恒等变换,X=*(B-A)；性质8,下页,从而得 X=*(B-A),说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.,解：,下页,定义3 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：,构成的mn矩阵C 称为矩阵 A 与矩
12、阵 B 的积，记为CAB.,则由元素 cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1,2,m；j1,2,n),2.2.3 矩阵的乘法,下页,cijai1b1jai2b2j aisbsj(i1,2,m；j1,2,n).,ai1b1jai2b2j aisbsj.,注：A的列数等于B的行数，AB才有意义;C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.,因此，cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.,矩阵的乘法,cij,下页,下页,ai1b1jai2b2j aisbsj.,注：A的列数等于B的行数，AB才有意义;C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.,因此，cij 可表示为 A
13、的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.,cij,反例设,则 AB=,=无意义.,解：,-6,-7,8,（1）先行后列法,解：,-6,-7,8,-3,0,-3,（1）先行后列法,解：,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,（1）先行后列法,下页,解：,5,-3,8,（2）先列后行法,解：,5,-3,8,-7,0,-7,（2）先列后行法,解：,5,-3,8,-7,0,-7,-6,-9,-3,（2）先列后行法,4,-9,8,3,解：,-6,-7,8,-3,0,-9,-7,-3,5,；,通常采用：先行后列法,下页,解：,-32,-16,16,8,0,0,0,0,下页,AB=,解：,显然，1
14、)矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA;2)两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从AB=O，推出A=O或B=O.,下页,解：,3,1,1,0,3,1,1,0,显然AB=BA.如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.,问题：与A可交换的B怎么得到？,下页,显然AC=BC，但AB.矩阵乘法不满足消去律.,下页,例8设,例10.,则AA=,=A.,显然AA=A，但AE，A O.,例9 对于任意矩阵A及相应的矩阵O，E，有,AO=O，OA=O；,AE=E，EA=A，EE=E.,下页,例11.线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）,简记为：AX=B.,其中，A=,，X=,，B=,下
15、页,应注意的问题,(1)ABBA；,(3)AB=O,A=O或B=O；,(2)AC=BC,A=B；,矩阵乘法的性质,2.2.4 方阵的幂 对于方阵A及自然数k Ak=AA A(k个A相乘)，称为方阵A的k次幂.方阵的幂有下列性质：(1)ArAs=Ar+s；(2)(Ar)s=Ars.,(4)AA=A,A=E或A=O.,(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).,问题：(A+B)2=?,下页,定义4 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果,例如，设x=(x1 x
16、2 xn)，y=(y1 y2 yn)，则,(y1 y2 yn),xTy,.,2.2.5 转置矩阵及对称方阵,显然，ETE.,下页,转置矩阵有下列性质(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；,定义4 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A.即如果,(4)(AB)T=BTAT.,下页,定义5 设A 为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如果AT=-A，则称A为反对称矩阵.,分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.,显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji;A为反对称矩阵的充分必要条件是 aij=-aji.,如：,
17、下页,定义6,设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或det A.,性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则,(1)|A|=|AT|;,(3)|AB|=|A|B|.,(2)|kA|=kn|A|;,2.2.6 方阵的行列式,显然，|E|=1.,一般地，若A1,A2,Ak都是n阶方阵，则,显然,下页,例11设,求,解:因为,由公式,则,若先求得,同样,下页,例12设 A，B均为四阶方阵，且.,计算.,解 由方阵的行列式的运算规律，,下页,练习2设 A,B都是2阶方阵，且A=2，B=-3E，则|ATB|=().,练习1设 A是3阶方阵，且A=2，则A2=()|2A|=(),|A|=().,4,-16,2,18,练习,下页,作业：75-76页 1 2 3（1）4（1）（5）5,结束,
