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1、向量空間與線性轉換,2-1 向量與向量空間2-2 線性獨立與基底2-3 Rn的透視2-4 線性轉換2-5 線性轉換的代表矩陣2-6 特徵值與特徵向量2-7 二次形式,2-1 向量與向量空間,線性代數裡所談的向量(vector)，是一種抽象的概念，它是由具體的平面向量或直角座標系統(rectangular coordinate system)Rn 內的向量推廣而來的。平面中的向量可用一2 1的矩陣表示,其中 x1、x2 為實數，稱為向量 X 的分量(com-ponents)。對於任一向量，可在平面上找到唯一的點 P(x1,x2)與之對應。對於平面上任意一個點 P(x1,x2)，我們可以用有向線段
2、表示向量 X(見圖2-1)。我們也可以由點到點劃出一條有向線段，而 所表示的量，其分量為。圖2-2中，向量 與向量 具有相同的分量，故視為相等。,圖2-1,圖2-2,P(x1,x1),Tail of the vector,Head of the vector,平面向量(vector in the plane)可視為一 2 1 的矩陣，因此向量間的運算可比照矩陣來定義。通常，我們會將平面向量(vector in the plane)簡稱為向量。,設為兩平面向量，a 為一實數，則向量的加法運算與純量乘法運算可定義為,2-1,純量乘積(Scalar Multiple),圖2-3,圖2-4,X+Y,X
3、,2X,X,2X,設 X、Y、Z 為平面向量，c 與 d 為任意實數，則X+Y 亦為平面向量(加法運算具封閉性)，且(1)X+Y=Y+X(2)X+(Y+Z)=(X+Y)+Z(3)X+O=O+X=X，為零向量(zero vector),2-1,(4)存在一負向量(negative vector)X，使得 X+(X)=0 又 cX 亦為平面向量，且(5)c(X+Y)=cX+cY(6)(c+d)X=cX+dX(7)(cd)X=c(dX)(8)1X=X,2-1,一個實數向量空間(real vector space)(V,)是由一個非空(nonempty)的集合 V 與兩種運算所構成的。它必須滿足下列性
4、質：若 X、Y 為 V 中任意兩元素，則 X Y 亦在 V 內(加法封閉性)，且(1)X Y=Y X(2)X(Y Z)=(X Y)Z，X,Y,ZV(3)V 中有一元素 O，可使得 V 中任意的元素 X 皆滿足O X=X O=X(4)對於每一個 V 中的元素 X，皆有一元素 X 使得X(X)=(X)X=0：向量加法運算,2-2,若 X 為 V 中任意元素，c 為任意實數，則cX 仍在 V 內(乘法封閉性)，且(5)c(X Y)=c X c Y，X,YV(6)(c+d)X=c X d X(7)對於任意實數 c，d 及 V 中任意元素 X，c(d X)=(cd)X(8)1X=X：純量乘法運算,2-2
5、,設 X 為向量空間 V 中的向量，c 為任意實數，則(1)oX=O(2)cO=O(3)若 cX=O，則 c=o 或 X=O(4)(1)X=X,2-2,為方便起見，以下將X Y，cX 等符號，以X+Y 與cX表示,設 V 為一向量空間，W 為 V 的子集合。若 W 在V的兩種運算下亦成為一向量空間，則稱 W 為 V 的一個子空間(subspace)。例：若V為一向量空間，則V與O為的子空間。,2-3,設 V 為一向量空間，其運算為 與。若 W 為 V 的一個非空子集合，則 W 為 V 的子空間之充要條件為(1)若X、Y為W中的向量，則 X Y 亦在 W 內。i.e.X、Y W則 X Y W(2
6、)若 c 為任意實數，X 為 W 中任意向量，則 cX亦在 W 內。i.e.c R，X W則 cX W,2-3,例題：(例題2-9)(p.61)設 W=w|w 為AX=O的解集合，試問 W是否為R n 的一個子空間?,若 X,Y W,則AX=O&AY=O A(X+Y)=AX+AY=O+O=O X+Y W(定理2-3-(1)成立)(ii)若 c R 0,且X W,則AX=O A(cX)=c A(X)=cO=O cX W(定理2-3-(2)成立),故W為Rn 的一個子空間,例題：設W=(a,b,0)|a,b R,W是否為R3的一個子集合？,令 w1=(a1,b1,0),where a1,b1 W
7、w2=(a2,b2,0),where a2,b2 W w1+w2=(a1+a2,b1+b2,0)W 條件(1)成立,(2)令 w1=(a1,b1,0),where a1,b1 W且 c R cw1=c(a1,b1,0),=(c a1,c b1,0)W 條件(2)成立,練習一,下列R2的子集，在一般向量之加法與純量乘積運算下，哪些為R2的子空間?(a)W1=(x,y)|x0,yR(b)W2=(x,y)|x0,y 0(c)W3=(x,y)|x=0,yR,2-2 線性獨立與基底,設 V 為一向量空間，X,X1,X2,Xk，為 V 中一組向量。若有 k 個實數 c1,c2,ck，使得X=c1X1+c2
8、X2+ckXk則稱向量 X 為 X1,X2,Xk 的線性組合(linear combination)。,2-4,若 X1,X2,Xk 為向量空間 V 的一組向量，則 X1,X2,Xk 的線性組合所構成的集合，以符號表之，。這裡，=c1X1+ck Xk|c1,ck,為任意實數 為 V 的一個子空間,2-4,設 X1,Xk 為向量空間 V 的一組向量。我們稱 W=為由 X1,Xk 所造成(is spanned by)的子空間。或稱向量X1,Xk 造成(span)W。W=is spanned by X1,Xk or X1,Xk span W,2-5,練習二,(a)(例題2-10)(p.62)檢查X1
9、=(1,1,1)，X2=(1,2,3)，X3=(0,1,0)，是否可以造成R3?(b)在R3中，u1=(1,1,0)，u2=(0,1,1)，u3=(1,1 1)，試問u1=(1,0,0)是否可以由 u1,u2，u3 所造成?,練習二(例題2-10)(p.62)：,觀念：令 X=(a,b,c),其中 a,b,c為任意實數，看X是否能用X1,X2,X3的線性組合表示,求解：令 c1X1+c2X2+c3X3=X=(a,b,c),則,c1+c2 a c1+2c2+c3 b c1+3c2 c,c1(3/2)a-1/2c c2(1/2)(c-a)c3=b-(1/2)c-(1/2)a,故X1,X2,X3可以
10、造成R3,設 X1,Xk 為向量空間 V 的向量。若存在一些不全為零的實數 c1,ck 使得c1X1+c2X2+ckXk=O(2-1)則稱X1,Xk 為線性相依(linearly dependent)。否則稱X1,Xk 為線性獨立(linearly independent)。換句話說，若(2-1)式只有在 c1=c2=ck=0 時才能成立，則 X1,Xk 稱為線性獨立。再者，若其中某個向量 Xi 為零向量，則 X1,Xk 必為線性相依。,2-6,判斷X1,Xk 為線性相依或線性獨立的步驟如下：步驟一：寫出等式 c1X1+c2X2+ckXk=O i.e.CX=O 由此可導出一齊次方程組。步驟二：
11、若上述齊次方程組僅由明顯解，則此組向量集合為線性獨立，否則為線性相依。,R2 上線性相依與線性獨立之義涵,R2 上的線性相依座落於通過原點的同一直線上的兩個向量,R2 上的線性獨立通過原點，不在同一直線上的兩個向量,c1X1+c2X2=O,Suppose c1 0,X1=-(c2/c1)X2=-k X2,R3上線性相依與線性獨立之義涵,R3 上的線性相依 座落於通過原點的同一平面上,R3 上的線性獨立 其一向量不為其他向量的純量積(Scalar Multiple),練習三(例題2-12)(p.64)：試判斷下列向量為線性相依或線性獨立?在R3中，X1=(1,1,1)，X2=(1,2,3)，X3
12、=(0,1,0),求解：令 c1X1+c2X2+c3X3=0=(0,0,0),則,c1+c2 0 c1+2c2+c3 0 c1+3c2 0,故X1,X2,X3 為線性獨立,練習三(例題2-12)(p.64)：試判斷下列向量為線性相依或線性獨立?(a)在R2中，X1=(1,2)，X2=(1,0)，X3=(2,1),求解：令 c1X1+c2X2+c3X3=0=(0,0),則,c1+c2+2c3 0 2c1+0c2+c3 0,練習三：試判斷下列向量為線性相依或線性獨立?,(b)在R3中，u1=(1,2,-1)，u2=(1,-2,1)，u3=(-3,2,-1)，u4=(2,0,0)(c)在R4中，X1
13、=(-1,1,0,0)，X2=(-2,0,1,1)(d)在R4中，u1=(1,0,1,2)，u2=(0,1,1,2)，u3=(1,1,1,3),練習三：試判斷下列向量為線性相依或線性獨立?,(b)在R3中，u1=(1,2,-1)，u2=(1,-2,1)，u3=(-3,2,-1)，u4=(2,0,0)(c)在R4中，X1=(-1,1,0,0)，X2=(-2,0,1,1)(d)在R4中，u1=(1,0,1,2)，u2=(0,1,1,2)，u3=(1,1,1,3),若 X1,X2,Xk 為向量空間 V 的 k 個向量，則X1,X2,Xk 線性相依的充要條件是其中一個向量可以用其他 k1 個向量的線性
14、組合來表示。,2-4,練習四：(同練習三(a)在R2中，X1=(1,2)，X2=(1,0)，X3=(2,1)，已知X1、X2與 X3為線性相依，試證明定理2-4成立,若向量空間 V 的子集合 S=X1,X2,Xn 滿足下面兩個性質(1)S 中的向量為線性獨立(2)V=則稱 S 為 V 的一個基底(basis)。,2-7,練習五：,(a)在R3中，X1=(1,1,1)，X2=(1,2,3)，X3=(0,1,0)，試證明S=X1,X2,X3 R3中的一組基底(b)試證明S=X1,X2,X3,X4 為R4中的一組基底，其中X1=(1,0,1,0)，X2=(0,1,-1,2)，X3=(0,2,2,1)
15、，X4=(1,0,0,2),向量空間 V 通常有許多組基底，且每一組基底所含的向量個數都是一樣的，即若 S=X1,X2,Xn 且T=u1,u2,um 均為向量空間 V 的基底，則n=m。若基底所含的向量個數為 n，則稱 n 為 V 的維度(dimension)或 dim V=n，並稱 V 為 n 維向量空間(n-dimensional vector space)，至於零空間 O 可定義其維度為0。,若 S=X1,X2,Xn 為向量空間 V 的基底，則V中每一個向量 X 可以用 X1,Xn 的線性組合表示，且表示法為唯一。,2-5,一般而言，dim R2=2dim R3=3 dim Rn=n。,
16、若 S=X1,X2,Xn為向量空間 V 的基底，則 V 中任一向量 X 皆可唯一地表示成X=a1X1+a2X2+anXn 我們稱(a1,a2,an)為 X 對於基底 S 的座標向量(coordinate vector)，並記為,2-8,2-3 Rn的透視,Rn 中向量 X=(x1,x2,xn)的長度(length or norm)為實際上我們也可將|X|視為原點到點(x1,xn)的距離，因此若考慮由點(x1,x2,xn)到點(y1,yn)間的距離時，可由向量 X Y 的長度來定義。這裡其距離為,2-9,若 X=(x1,xn)，Y=(y1,yn)為 Rn 中的兩個向量，則其內積(inner pr
17、oduct)為內積的運算具有下面幾個基本性質。,2-10,若 X、Y、Z 均為 Rn 中的向量，c 為實數，則(1)XX=|X|2 而且XX=0 若且唯若 X=O(2)X Y=Y X(3)(X+Y)Z=XZ+YZ(4)(cX)Y=c(XY)=X(cY),2-6,Cauchy-Schwarz,zd 不等式若 X、Y 為 Rn 中的向量，則(2-2)(注意不等式左邊的符號|代表實數的絕對值，而右邊的|代表向量的長度),2-7,設 X、Y 為 Rn 中非零的向量，則 X、Y 間夾角 的餘弦函數為,2-11,設 X、Y 為 Rn 中的兩個向量，若 XY=0，則稱 X 與 Y 正交(orthogonal
18、)。若|XY|=|X|Y|，則稱 X 與 Y 平行(parallel)。由定義2-11知，X 與 Y 正交，即 cos=0 或 X 與 Y 的夾角為。又 X 與 Y 平行且同向時，cos=1，若 X 與 Y 平行但反向時，則 cos=1。,2-12,設 S=X1,Xn 為 Rn 的基底，若 i j 時，XiXj=0，則稱 S 為 Rn 的正交基底(orthogonal basis)。若 S=X1,Xn為 Rn 的正交基底，且 S 中之向量皆為單位向量，則稱 S 為 Rn 的正規基底(orthonormal basis)。,2-13,若 S=X1,Xn為 Rn 中非零向量，且相互正交，則 S 為
19、線性獨立。Gram-Schmidt 正交化方法若 W 為Rn 的非零子空間，其基底為 S=X1,Xm，則可利用 S 找出 W 的一個正規基底。,2-8,2-9,若 S=X1,X2,Xn 為 Rn 的正規基底，則向量 X 對應於 S 的座標為,2-10,2-4 線性轉換,設 V、W 為兩向量空間。若函數 L:V W 滿足。(1)L(X1+X2)=L(X1)+L(X2)，X1,X2 V。(2)L(cX)=cL(X)，X V,c 為實數。則稱 L 為從 V 映至 W 的線性轉換。,2-14,若 L:V W 為一線性轉換，則(1)L(Ov)=Ow，Ov，Ow分別為V及W的零向量，(2)L(c1 X1+
20、c2 X2+cn Xn)=c1 L(X1)+c2 L(X2)+cn L(Xn)，X1,X2,Xn V，c1,c2,cn 為任意實數。,2-11,若 L:V W 為一線性轉換，則集合Ker L=X V|L(X)=Ow 稱為 L 的核(kernel)，而集合Range L=Y W|存在 X V，使得 L(X)=Y 稱為 L 的值域(range)。,2-15,若 L:V W 為一線性轉換，則 Ker L 為 V 的子空間，Range L 為 W 的子空間。設 L:V W 為一線性轉換。若當 L(X1)=L(X2)時，可得 X1=X2，則稱 L 為一對一函數(one to one)。若 Range L
21、=W 時，則稱 L 為映成函數(onto)。,2-12,2-16,設 L:V W 為一線性轉換，若 S=X1,X2,Xn為 V 的一個基底，則L(X1),L(X2),L(Xn)造成 Range L。設 L:V W 為一線性轉換，則dim(Ker L)+dim(Range L)=dim V(2-4),2-14,2-15,2-5 線性轉換的代表矩陣,設 L:V W 為一線性轉換，且 S=X1,Xn，T=Y1,Ym分別為向量空間 V 及 W 的基底。若將 W 中的向量 L(X1),L(Xn)以 T 基底表之：,2-17,則矩陣,稱為線性轉換 L 對應於基底 S 及 T 的代表矩陣(matrix re
22、presenting the linear transformation L)。若依照定義2-8裡的符號，V 中向量 X 對應於 S 基底的座標向量為XS，而向量 L(X)對應於 T 基底的座標向量則為L(X)T。,設向量空間 V、W 的基底分別為 S=X1,Xn、T=Y1,Ym，而線性轉換 L:V W對應於 S 及 T 基底的代表矩陣為 A，則對於 V 中所有的向量X，,2-16,2-6 特徵值與特徵向量,設 A 為 n 階方陣，若存在一實數，及一非零的向量 X，使得AX=X(2-5)則稱為矩陣A的特徵值(eigenvalue or characteristic value)，向量 X 為對
23、應於 的特徵向量(eigenvector or characteristic vector)。,2-18,特徵值與特徵向量的定義，須注意下面幾件事情(1)在定義2-18中，特徵值亦可能為複數，但為避免涉及艱深的數學理論，本書只考慮實數的特徵值。(2)零向量 X=O 永遠滿足(2-5)式，但在這裡，我們只考慮滿足(2-5)式的非零向量。(3)設X1 O，X2 O 為對應於 的兩個特徵向量，a 為任意實數，且 a 0，則因,故知 aX1 與 X1+X2 亦為對應於 的特徵向量。(4)若令即 S 為對應於 的所有特徵向量及零向量所構成的集合，則由(3)知 S 為 Rn 的子空間，稱為特徵值 的特徵空
24、間(eigenspace)。,設 A 為 n 階方陣。多項式稱為 A 的特徵多項式(characteristic polynomal of A)。而方程式稱為 A 的特徵方程式(characteristic equation of A)。,2-19,2-20,若 A、B 均為 n 階方陣，且存在一非奇異矩陣 P 使得 B=P1 AP，則稱 B 與 A 相似(B is similar to A)。設 A 為一 n 階方陣。若 A 與一對角矩陣相似，則稱 A 為可對角線化(diagonalizable)。,2-21,(1)若矩陣 A 與 B 相似，B 與 C 相似，則 A 與 C 相似。即矩陣的相
25、似關係具有傳導性(transitivity)。(2)若矩陣 A 與 B 相似，則|A|=|B|。(3)若矩陣 A 與 B 相似，則 A、B 具有相同的特徵值。,2-17,若 A 為 n 階方陣，則 A 可對角線化的充分必要條件是 A 有 n 個線性獨立的特徵向量。此時，A 與某個對角矩陣 D 相似，即 D=P1AP，而 D 的對角線元素即為 A 的特徵值，且矩陣 P 的行向量即為 A 的 n 個線性獨立的特徵向量。,2-18,若 1,2,m 為 n 階方陣 A 的 m 個相異的特徵值，則其對應之特徵向量X1,X2,Xm 必為線性獨立。若矩陣 A 的特徵方程式根皆為實數，且彼此相異，則矩陣 A
26、必可對角線化。,2-19,2-20,若矩陣 A 僅有 m 個相異的特徵值 1,2,m，m n，其中 i 的重根數為 ki,i=1,2,m，且，則 A 可對角線化的充要條件是：i 特徵空間的維度為 ki,i=1,2,m。對稱矩陣的特徵值必為實數；因此若對稱矩陣的特徵值彼此相異，則此對稱矩陣必可對角線化。,2-21,2-22,對稱矩陣相異特徵值所對應之特徵向量彼此正交。,2-23,設 P 為 n 階非奇異矩陣，若 PTP=In，則稱 P 為正交矩陣。若 A 為對稱矩陣，則必存在一正交矩陣 P，使得P1AP=D，而對角矩陣 D 的對角線元素即為 A 的特徵值。,2-22,2-24,2-7 二次形式,
27、一個含有 n 變數 x1,x2,.,xn 的二次函數 Q(X)=XTAX 即稱為 n 元二次形式(quadratic form in n variables)，其中 X=x1,x2,xnT，A 為一對稱矩陣。為化簡二次形式，我們常利用變數變換 X=PY，P 是一正交矩陣，將 n 元二次形式 Q(X)變換成另一個 n 元二次形式Q(Y)。,2-23,設 A、B 均為 n 階方陣，若存在一非奇異矩陣 P，使得 B=PTAP，則稱 A 與 B 相符(congruent)。,2-24,設 Q(X)=XTAX，Q(Y)=YTBY 均為二次形式，若 A 與 B 相符，則稱 Q 與 Q 同義(equivalent)。,2-25,主軸定理(Principal Axes Theorem)每一個 n 元二次形式 Q(X)=XTAX 均與Q(Y)=同義，其中 Y=y1,y2,yn T，1,2,n 為 A 的特徵值。,2-25,設A=aij 為 n 階對稱矩陣，則 A 為正定的充要條件是,2-28,設 A=aij 為 n 階對稱矩陣，則 A 為負定的充要條件是,2-29,
