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1、1,表示法:,向量的模:,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,第二节 矢量代数,2,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k,个向量共面.,3,6.2.1 矢量运算,1.矢量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,4,5,2.矢量的减法,三
2、角不等式,6,3.数量与矢量的乘法,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,7,空间一点在轴上的投影,4.矢量的射影,8,空间一向量在轴上的投影,9,关于向量的投影定理（1）,证,10,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,11,5.矢量的分解与矢量的坐标,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,12,6.矢量的模方向余弦方向数,1.向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,13,方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O,称=AOB(0
3、)为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,14,方向余弦的性质:,15,作业：p-25 习题 10，18，,16,沿与力夹角为,的直线移动,1.定义,设向量,的夹角为,称,数量积,(点积).,6.2.2 两矢量的数量积,17,故,数量积的基本性质,为两个非零向量,则有,18,2)交换律,3)结合律,4)分配律,事实上,当,时,显然成立;,19,例1.证明三角形余弦定理,证:,则,如图.设,20,例2.已知三点,AMB.,解:,则,求,故,21,引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,6.2.3
4、两矢量的矢量积,22,定义,定义,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,引例中的力矩,思考:右图三角形面积,S,23,4.数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,24,2.性质,为非零向量,则,5)分配律,4)结合律,证明:,25,4.向量积的坐标表示式,设,则,26,向量积的行列式计算法,27,例4.已知三点,角形 ABC 的面积,解:如图所示,求三,28,一点 M 的线速度,例5.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上,的表示式.,解:在轴 l 上引进一个角速度向量,使,其,在 l 上任取一点 O,作,它与,则,点 M离开转轴的距
5、离,且,符合右手法则,的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径,29,1.定义,已知三向量,称数量,混合积.,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,6.2.4 两矢量的混合积,30,2.混合积的坐标表示,设,31,3.性质,(1)三个非零向量,共面的充要条件是,(2)轮换对称性:,(可用三阶行列式推出),32,例6.已知一四面体的顶点,4),求该四面体体积.,解:已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,33,例7.证明四点,共面.,解:因,故 A,B,C,D 四点共面.,34,内容小结,设,1.向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,35,混合积:,2.向量关系:,
