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1、广东白云学院通信工程系杨新盛,信号与系统,Signal and System,3.3 周期信号的傅立叶级数,1.周期信号的傅立叶级数分析,根据傅里叶级数理论，任何满足满足狄里克雷(Dirichlet)条件的周期连续信号可展开为三角傅里叶级数或复指数傅立叶级数。,狄氏条件：,（1）在一周期内，间断点的数目有限；,（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；,（3）在一周期内，,电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当 满足狄氏条件时，才存在。,周期信号的傅立叶级数,周期信号f（t）展开为三角傅立叶级数,设 是周期为T的函数,三角函数集：,周期信号的傅立叶级数,根据傅里叶级数理论，任何满足满足狄里克
2、雷(Dirichlet)条件的周期连续信号 都可表示为无限多个、频率为基频倍数的复正弦信号的加权和，若 其中，为任何整数，为周期，为基频，为相应的角频率，则,周期信号的傅立叶级数,周期信号的傅立叶级数,2、周期信号f（t）展开为复指数付里叶级数,证明：,周期信号的傅立叶级数,用FS分析是对周期信号进行谐波分解，即用谐波加权和来合成信号，因此，FS分析又称为谐波分析。,周期信号的傅立叶级数,周期信号的对称性与付立叶系数的关系。,F,F,周期信号的傅立叶级数,解:,周期信号的傅立叶级数,周期信号的傅立叶级数,解:,周期信号的傅立叶级数,周期信号的傅立叶级数,解:,周期信号的傅立叶级数,周期信号的傅
3、立叶级数,解:,周期信号的傅立叶级数,周期信号的傅立叶级数,周期信号的频谱,为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。,一、频谱图的概念,由上一节知周期信号f（t）可用付里叶级数来表示。,或,周期信号的傅立叶级数,二、典型周期信号的频谱,周期矩形脉冲信号,F（t）,T,t,T：脉冲周期,：脉冲宽度,A：脉冲幅度,第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数,f(t)是偶函数,bn=0,T,：三角函数公共周期,周期信号的傅立叶级数,第二步：展成指数形式付里叶级数FS,周期信号的傅立叶级数,当 时,第三步：频谱分析,与,之比值有关，取,与,
4、包络线均为,为离散频率,即,周期信号的傅立叶级数,计算第一个振幅为零的谐波次数n,幅度频谱图,周期信号的傅立叶级数,0 an0,0,Fn0,Fn0,即,即,周期信号的傅立叶级数,-,第四步：讨论频谱结构与、T 的关系,当,非周期信号,连续频率,非周期信号连续频谱,此例中 为一实数。幅度频谱与相位频谱可以合画在一张图上。,周期信号的傅立叶级数,周期信号的傅立叶级数,对于一般频谱，常以0频率开始 振幅将为包络线最大值的1/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度,2.当T不变，减小时,T不变,间隔不变,振幅为0的谐波频率,3.频带宽度的定义,对于周期矩形信号，一般,或,周期矩形信号的时间特性：f(t)变化快,f(t)变化慢,频率特性：,变化快的信号必然具有较宽的频带。,周期信号的傅立叶级数,周期信号的频谱特点,(1)离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为。这种频谱常称为离散频谱。,(2)谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数倍。,(3)收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。,周期信号的傅立叶级数,课后 作业,
