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1、3.3 圆周角和圆心角的关系(1),大兴学校 卿丽萍,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在同圆或等圆中，,相等的圆心角所对的弧相等，,所对的弦相等,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,在同圆或等圆中，,如果两个圆心角、,两条弧、,两条弦,中有一组量相等，,中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,1.圆心角的定义?,答:顶点在圆心的角叫圆心角.,圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系,我们把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。,在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把每一份这样的
2、弧叫做1的弧。,在同圆或等圆中，,点与圆的位置关系有哪些?,当角的顶点发生变化时，这个角的位置有哪几种情况?,圆周角,特征：,角的顶点在圆上.,角的两边都与圆相交.,圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.,练习：,1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。,不是,不是,是,不是,不是,图,图,图,图,图,2、指出图中的圆周角。,有没有圆周角？,有没有圆心角？,它们有什么共同的特点？,它们都对着同一条弧所对的,下列图形中，哪些图形中的圆心角BOC和圆周角A是同对一条弧。,自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和圆周角分别是多少度？,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
3、,为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系.,类比圆心角探知圆周角,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.,在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？,圆周角和圆心角的关系,如图,观察弧AC所对的圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关系?,说说你的想法,并与同伴交流.,教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.,圆周角和圆心角的关系,1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系.,AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即 ABC=AOC.,你
4、能写出这个命题吗?,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,老师期望:你可要理解并掌握这个模型.,圆周角和圆心角的关系,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,老师提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,ABC=AOC.,你能写出这个命题吗?,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,ABD=AOD,CBD=COD,圆周角和圆心角的关系,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?3.当圆心(O)在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,老师提示:能
5、否也转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,ABC=AOC.,你能写出这个命题吗?,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,ABD=AOD,CBD=COD,圆周角定理,综上所述,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系是:,圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.,老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.,即 ABC=AOC.,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,130,C,C,D,B,3、如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，COD=500，则CAD=_,做做看，收获知多少？,一、判断1、
6、顶点在圆上的角叫圆周角。2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。二、计算1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两部分，则弦所对的圆周角的度数是。,O,60或120,2、如图,在O中,BOC=50,求A的大小.,解:A=BOC=25.,习题1.如图：OA、OB、OC都是O的半径 AOB=2BOC.求证：ACB=2BAC.,证明：,ACB=AOB,1,2,BAC=BOC,2,AOB=2BOC,ACB=2BAC,四、新知应用：,1,规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理,习题1.如图：OA、OB、OC都是O的半径 AOB=2BOC.求
7、证：ACB=2BAC.,证明：,ACB=AOB,1,2,BAC=BOC,2,AOB=2BOC,ACB=2BAC,四、新知应用：,1,规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理,一、这节课主要学习了两个知识点：1、圆周角定义。2、圆周角定理及其定理应用。二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。,五、总结扩展：,三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用,2.如图(2),在O中,B,D,E的大小有什么关系?为什么?3.如图(3),AB是直径,你能确定C的度数吗?,拓展 化心动为行动,1.如图(1),在O中,BAC=50,求C的大小.,练习：4、AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果ADB=350，求BOC的度数。5、如图，在O中，BC=2DE，BOC=84，求 A的度数。,
