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1、第24章 圆,24.3 圆周角,第2课时 圆周角和直径 的关系,1,课堂讲解,直径所对的圆周角是直角直角所对的弦是直径,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,1.什么叫圆周角?2.圆周角定理的内容是什么?3.圆周角的度数与它所对的弧的度数有什么关系?4.圆周角定理的推论1是什么?,1,知识点,直径所对的圆周角是直角,圆周角定理的推论2：(1)半圆或直径所对的圆周角是直角；(2)90的圆周角所对的弦是直径,知1讲,例1 如图，ABC的三个顶点在O上，ADBC，D为垂足，E是的中点，求证：12.,知1讲,本题涉及的条件较多，图形比较复杂，因此解题的切入点就很多，切入点不同就有不同的证法，实
2、质不外乎从：等角代换；特殊圆周角相等转化为它所对的弧相等；证角相等转化为它的等角(圆周角)所对的弧相等这几个方面去思考,导引：,方法一：如图，连接OE.E为 的中点，OEBC.又ADBC于点D，OEAD，2E.OAOE，1E，12.,知1讲,证明：,知1讲,方法二：如图，延长AO交O于点G，延长AD交O于点F，连接FG.AG为O的直径，F90，即AFGF.ADBC于点D，CBFG，E为 的中点，即，12.,方法三：如图，延长AO交O于点F，延长AD交O于点G，连接BF.AF为直径，ABF90.FC，ADBC于点D，34，E为 的中点，,知1讲,知1讲,方法四：如图，延长AO交O于点G，连接CG
3、.AG为O的直径，ACG90，又ADBC，BG，BADGAC，34.E为 的中点，,总 结,知1讲,(1)常用作辅助线的方法：连接圆上两点、连半径、作直径构造直径所对的圆周角；(2)垂径定理和圆周角定理以及它们的推论在解决圆 的有关问题中使用频率很高，要注意灵活掌握,例2 如如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D.求证：(1)D是BC的中点；(2)BECADC；(3)BC22ABCE.,知1讲,知1讲,(1)要证D是BC的中点，已知ABAC，只要证 ADBC即可，根据圆周角定理的推论，AB是直 径，所以ADB90，即可得证(2)欲证BECADC，通过观察发现两个
4、三角形 已经具备一组角对应相等，即BCEACD，此时，再证一组角对应相等即可(3)由BECADC，易得CDBCACCE，又D是BC的中点，ABAC，即可证BC22ABCE.,导引：,知1讲,(1)AB是O的直径，ADB90，即ADBC.又ABAC，D是BC的中点(2)CBE与CAD是 所对的圆周角，CBECAD，又BCEACD，BECADC.(3)由(2)知BECADC，即CDBCACCE.由(1)知D是BC的中点，CD BC.又ABAC,BCBCABCE，即BC22ABCE.,证明：,总 结,知1讲,证明四条线段成比例可以利用相似三角形解决。,1如图，AB为O的直径，点C在O上，若A30，则
5、B的度数为()A15 B30 C45 D60,知1练,如图，ABCD的顶点A，B，D在O上，顶点C 在O的直径BE上，ADC56，连接AE，则 AEB的度数为()A34 B44 C28 D64,知1练,知1练,在半径为5的O中，弦AB6，点C是弦AB所对的优弧上一点(不与A，B重合)，连接AC，BC，则cos C的值为_,2,知识点,直角所对的弦是直径,知2讲,90的圆周角所对的弦是直径拓展：1.确定圆心的方法：弦的垂直平分线过圆心；90的圆周角所对的弦过圆心 2.如果一个三角形一边上的中线等于这边的一 半，那么这个三角形是直角三角形,知2讲,例3(黔西南州)如图，AB是O的直径，弦CDAB于
6、点E，点P在O上，1BCD.(1)求证：CBPD；(2)若BC3，sinP，求O的直径(1)要证明CBPD，只需证明1P，根据同弧所对的圆周角相等，可以得到 BCDP，又由1BCD，即可得1P，从而有CBPD；(2)连接AC，根据题意可知PCAB，则sinCAB，即，从而可以求得O的直径,分析：,知2讲,(1)证明：同弧所对的圆周角相等，BCDP.又1BCD，1P，CBPD.(2)解：如图，连接AC.AB为O的直径，ACB90.又CDAB，PCAB，sinCAB，即 又BC3，AB5，O的直径为5.,总 结,知2讲,在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角之间的等量关系可以相互转化，进而证明平行
7、；涉及三角函数则构造直角三角形.,已知等腰直角三角形ABC的一条直角边为，求它的外接圆的半径.证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形.,知2练,3,知2练,下列结论正确的是()A直径所对的角是直角 B90的圆心角所对的弦是直径C同一条弦所对的圆周角相等D半圆所对的圆周角是直角,4(中考兰州)如图，已知经过原点的P与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则ACB等于()A80 B90 C100 D无法确定,知2练,5(中考黔南州)如图，直径为10的A经过点C(0，6)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cosOBC的值为_,知2练,本节应掌握：1.直径所对的圆周角是直角；2.直角所对的弦是直径；,
