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1、第二讲 初等模型,2.1 商人们怎样安全过河2.2 城市污水治理规划问题,2.1 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),3名商人 3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y
2、=0,1,2,3;x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)决策,D=(u,v)u+v=1,2 允许决策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,允许决策 移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,d1,，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况
3、,允许状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,2.2 城市污水治理规划问题,污水处理，排入河流,三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水送),Q污水量，L管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L,假设,联合建厂的话，污水处理厂建在下游城镇,记号,C(i):第i城镇建厂的费用（i=1,2,3）,C(i,j):第i、j城镇联合在j处建厂由于费用（i、j=1,2,3）,C(i,j,k):第i、j、k城镇联合在k处建厂由于费用（i、j、k=1,2,3）,污水处理的5 种方案,1）单独建厂,总投资,2）1,2合作,
4、3）2,3合作,4）1,3合作,总投资,总投资,合作不会实现,5）三城合作总投资,D5最小,应联合建厂,建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=453 12管道费：d2=0.66 50.51 20=30 23管道费：d3=0.66(5+3)0.51 38=73,D5,城3建议：d1 按 5:3:5分担,d2,d3由城1,2担负,城2建议：d3由城1,2按 5:3分担,d2由城1担负,城1计算：城3分担d15/13=174C(1),不同意,D5如何分担？,既然合作的话，要有利可图,分别为联合较独立建厂节约的费用,满足,三城市分摊方案,公共部分中心,城1 C(1)-x1=210.5,城2 C(
5、2)-x2=127.5,城3 C(3)-x3=218,三城在总投资556中的分担,(1)Shapley合作对策,I,v n人合作对策，v特征函数,n人从v(I)得到的分配，满足,v(s)子集s的获利,公理化方法,s子集 s中的元素数目，Si 包含i的所有子集,由s决定的“贡献”的权重,i 对合作s 的“贡献”,Shapley合作对策,特征函数v(s)联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资,三城从节约投资v(I)中得到的分配,Shapley合作对策,计算城1从节约投资中得到的分配x1,x1=19.7,城1 C(1)-x1=210.3,城2 C(2)-x2=127.9,城3 C(3)-x3=217.
6、8,x2=32.1,x3=12.2,x2最大，如何解释？,合作对策的应用 例 派别在团体中的权重,90人的团体由3个派别组成，人数分别为40,30,20人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。,虽然3派人数相差很大,若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重。,团体 I=1,2,3，依次代表3个派别,优点：公正、合理，有公理化基础。,如n个单位治理污染,通常知道第i方单独治理的投资yi 和n方共同治理的投资Y,及第i方不参加时其余n-1方的投资zi(i=1,2,n).确定共同治理时各方分担的费用。,其它v(s)均不知道,无法用Shapley合作对策求
7、解,Shapley合作对策小结,若定义特征函数为合作的获利(节约的投资)，则有,缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义I=1,2,n的所有子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。,求解合作对策的其他方法,例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？,（2）协商解,将剩余获利 平均分配,模型,以n-1方合作的获利为下限,求解,xi 的下限,（3）Nash解,为现状点（谈判时的威慑点）,在此基础上“均匀地”分配全体合作的获利B,模型,（4）最小距离解,模型,第i 方的边际效益,若令,（5）满意解,di现状点(最低点)ei理想点(最高点),模型,（6）Raiffi 解,与协商解x=(5,4,2)比较,求解合作对策的6种方法（可分为三类）,Shapley合作对策,A类,B类,协商解,Nash解,最小距离解,例：有一资方(甲)和二劳方(乙,丙),仅当资方与至少一劳方合作时才获利10元，应如何分配该获利？,Raiffi解,C类,B类：计算简单，便于理解，可用于各方实力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。,C类：考虑了分配的上下限，又吸取了Shapley的思想，在一定程度上保护弱者。,A类：公正合理；需要信息多，计算复杂。,求解合作对策的三类方法小结,
