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1、安丘市青云学府二数学组 谢大强,圆锥曲线复习,复习专题,1.椭圆的定义平面内到两定点F1、F2距离之和为常数2a()的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a.在定义中，当 时，表示线段F1F2;当 时,不表示任何图形.,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,2.椭圆的标准方程(1)=1(ab0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为.(2)=1(ab0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为.,F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),4.椭圆=1(ab0)的几何性质(1)范围：|x|a,|y|b，椭圆在一个矩形区域内；(2)对称性：对称轴x=0，y
2、=0，对称中心O(0，0)；一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.,(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴长|A1A2|=，短轴长|B1B2|=;一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率：e=(0e1)，椭圆的离心率在 内,离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心率越接近于 时,椭圆越圆;当离心率越接近于 时，椭圆越扁平.,2a,2b,(0,1),0,1,5.双曲线的定义 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(且)的点的轨迹叫双曲线，有|MF1|-|MF2|=2
3、a.在定义中，当 时表示两条射线,当 时,不表示任何图形.,02a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,6.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线:,其中,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)；(2)焦点在y轴上的双曲线:,其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).,c2=a2+b2,7.双曲线(a0,b0)的几何性质(1)范围：,yR；(2)对称性：对称轴x=0,y=0，对称中心(0，0)；一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.,|x|a,(3)顶点：A1(-a,0),A2(a,0)；实轴长，虚轴长;一般规律
4、：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率e=()；双曲线的离心率在(1,+)内，离心率确定了双曲线的形状.(5)渐近线：双曲线 的两条渐近线方程为;双曲线 的两条渐近线方程为.,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,e1,y=x,y=x,双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b;公用渐近线的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程 就是双曲线 的两条渐近线方程.,8.抛
5、物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的.2.抛物线的标准方程与几何性质,准线,x轴,y轴,F(-,0),F(0,),x=-,y=,9.直线与圆的位置关系的判断由圆心到直线的距离d与圆半径r比较大小判断位置关系;(1)当dr时,直线与圆;(2)当d=r时,直线与圆;(3)当dr时，直线与圆.10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）.,相离,相切,相交,(1
6、)当a0时,则有,l与C相交;,l与C相切;,l与C相离;(2)当a=0时，即得到一个一次方程，则l与C相交,且只有一个交点,此时,若曲线C为双曲线,则l 于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l 于抛物线的对称轴.,0,=0,0,平行,平行,11.弦长公式连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|=.当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长.,12.曲线与方程的关系 一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下
7、关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个;(2)以这个方程的解为坐标的点均是.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.,方程的解,曲线上的点,13.求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x,y).(2)写出动点M所满足的.(3)将动点M的坐标,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程f(x,y)0为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.,几何条件的集合,代入几何条件,注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范
8、围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.14.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程；,(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；,定义,(4)参数法：有
9、时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到x,y的关系式.,1.动点P到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离之和等于6，则点P的轨迹是(),C,A.椭圆 B.圆C.线段F1F2 D.直线F1F2,课堂练习,2.椭圆+=1的焦点坐标是,若弦CD过左焦点F1,则F2CD的周
10、长是.,(,0),16,由已知，半焦距c=,故焦点坐标为(,0),F2CD的周长为4a=44=16.,3.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点(,0),离心率为 的椭圆方程为.,=1,b=3 e=a2=b2+c2又椭圆焦点在y轴上,故其方程为=1.,a=2b=3.,解得,依题设,4.已知M为线段AB的中点,|AB|=6,动点P满足|PA|+|PB|=8,则PM的最大值为,最小值为.,4,依题意可知，P点轨迹为以A、B为焦点的椭圆，M为椭圆中心，且半焦距为3，半长轴为4，则|PM|的最大值为4，最小值为半短轴.,5.椭圆=1(ab0)的焦点为F1、F2，两条直线x=(c2=a2-b2)与x轴的交
11、点为M、N，若MN2|F1F2|,则该椭圆的离心率e的取值范围是.,1),由已知|MN|=2.又|MN|2|F1F2|,则2 4c,从而,故 1,故e,1).,1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，应利用定义求解.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确，可设方程为+=1(m0,n0),或设为Ax2+By2=1(A0,B0).,3.椭圆中有“两线”(两条对称轴)，“六点”(两个焦点、四个顶点)，注意它们之间的位置关系(焦点在长轴上等)及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a-c等).,6.双曲线=1的实轴长是，焦点坐标是.,8,（0,5),7.
12、方程=1表示双曲线，则实数k的取值范围是.,(-,-1)(1,+),由题设及双曲线标准方程的特征可得(1+k)(1-k)1.,8.已知双曲线=1右支上一点P到左焦点F1的距离为12，则点P到右焦点F2的距离为;右支上满足上述条件的点P有 个.,2,1,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=10，所以|PF2|=12-10=2.又焦点坐标F1（-7，0），F2（7，0），顶点坐标为（5，0），所以满足条件的点只有一个，即为右顶点.,9.若双曲线=1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率.,e=,由已知，两渐近线方程为y=x,由两渐近线互相垂直得(-)=-1,即a=b.从而e=.,10.若
13、双曲线C的焦点和椭圆=1的焦点相同，且过点(3,2)，则双曲线C的方程是.,=1,由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在x轴上，设双曲线C的方程为=1,a2+b220 a2=12=1 b2=8,故所求双曲线的方程为=1.,则,求得,1.a,b,c有关系式c2=a2+b2成立，且a0,b0,c0.其中a与b的大小关系，可以为a=b,ab.2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究他们之间的相互联系.,3.椭圆是封闭性曲线，而双
14、曲线是开放性的.又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上.4.根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性.5.求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0).,6.与双曲线 共渐近线的双曲线方程为=(0).与双曲线 共焦点的圆锥曲线方程为(a2,且-b2).7.双曲线的形状与e有关系:k=，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.,11.平面内，动点M到定点F（0,-3）的距离比它到直线y-2=0的距离多1,则动点M的轨迹方程
15、是.,x2=-12y,依题设，动点M到定点F(0,-3)的距离等于它到定直线y=3的距离，由抛物线的定义可知，其轨迹方程为x2=-12y.,12.抛物线y=-x2的焦点坐标是，准线方程是.,y=1,(0,-1),抛物线的标准方程是x2=-4y，所以焦点坐标为（0，-1），准线方程为y=1.,13.抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且焦点到准线的距离为4,则该抛物线的标准方程为.,y2=8x,依题设，设抛物线的方程为y2=ax,且|a|=24=8,即a=8，故抛物线方程为y2=8x.,14.抛物线y2=4x上一点到其焦点F的距离为5,则点P的坐标是.,(4,4),由抛物线的定义，|PF|等于
16、P点到准线x=-1的距离，则xP-(-1)=5，得xP=4.又y2=4x，得yP=4.故点P的坐标为（4，4).,15.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.,由抛物线的定义，连接点(0,2)和抛物线的焦点F(,0),交抛物线于点P，则点P使所求的距离最小，且其最小值为=.,1.类比圆锥曲线统一定义.(1)抛物线定义的集合表示:P=M|=1,即P=M|MF|=d.(2)圆锥曲线的统一定义为P=M|=e(e0).当01时，曲线为双曲线；当e=1时，曲线为抛物线.,2.定义及标准方程的理解.(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判
17、断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，知道抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相依并存的，知道其中一个，就可以求出其他两个.(2)焦点弦公式：对于过抛物线焦点的弦长，可用焦半径公式推出弦长公式.设过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则有|AB|x1+x2+p.,(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数1.(4)抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的.(5)抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面
18、是正号，则抛物线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口方向为x轴或y轴的负方向.,16.若ab且ab0,则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是(),C,由已知，直线方程可化为y=ax+b,其中a为斜率,b为纵截距，二次曲线方程可化为=1，应用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.故选C.,17.直线x+y=2与椭圆x2+ky2=1有公共点，则k的取值范围是.,(0,18.过原点的直线l:y=kx与双曲线C:=1有两个交点，则直线l的斜率k的取值范围是.,由于双曲线的渐近线的方程为y=x,数形结合可知l与C有两个交点，则直线l夹在两渐近线之间，从
19、而-k.,19.设抛物线C:y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线C有两个公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是.,(0,)(,),由题意可得Q(-2,0),则l的方程可设为y=k(x+2)，代入y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.由于l与C有两个公共点,k20=16(k2-2)2-16k40,解得-1k0或0k1,即-1tan0或0tan1,故 或0.,因此,20.直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P、Q,若PQ的中点的横坐标为2,则弦长|PQ|等于.,6,y=kx-2 x2+4y2=80（1+4k2)x2-16kx-64=0.设P(x
20、1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=22,得k=,从而x1+x2=4,x1x2=-32,因此|PQ|=|x1-x2|=6.,由于,，消去整理得,1.直线与圆锥曲线位置关系探究方法.直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离、相交和相切.从代数角度一般通过他们的方程来研究：设直线l:Ax+By+C=0，二次曲线C:f(x,y)=0.联立方程组 Ax+By+C=0 f(x,y)=0,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)，然后利用方程根的个数判定，同时应注意如下四种情况：,(1)对于椭圆来说，a不可能为0，即直线与椭圆有一个公共点
21、，直线与椭圆必相切；反之，直线与椭圆相切，则直线与椭圆必有一个公共点.(2)对于双曲线来说，当直线与双曲线有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.(3)对于抛物线来说，当直线与抛物线有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.,(4)0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件.(5)0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线
22、相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.,2.数形结合思想的应用.要注意数形结合思想的运用.在做题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来.特别地：(1)过双曲线=1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；,P点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时，不存在这
23、样的直线.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.,3.特殊弦问题探究方法.(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.,21.方程|x|-1=表示的曲线是(),D,A.一个圆 B.两个圆C.半个圆 D.两个半圆,由于|x|-1=(|x|-1)2+(y-1)2=1|x|-10 x1 x-1(x-1)2+(y
24、-1)2=1(x+1)2+(y-1)2=1曲线是两个半圆，故选D.,或,22.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为.,x2-4y2=1,(代入法)设M(x,y)，P(x1,y1)，则-y12=1.x=x1=2x y=y1=2y,又,即,代入得x2-4y2=1.,(直推法)依题设,|PF1|+|PF2|=25=10|PQ|=|PF2|,则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10,则动点Q的轨迹是以F1为圆心,10为半径的圆,其方程为(x+4)2+y2=100.,23.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上一动点,
25、延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹方程是.,(x+4)2+y2=100,24.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=+,其中、R,且+=1,则点C的轨迹方程是.,x+2y-5=0,（参数法）设C(x,y).由=+,得(x,y)=(3,1)+(-1,3),x=3-y=+3.而+=1,x=4-1 y=3-2,即,则,消去得x+2y-5=0.,25.设A1、A2是椭圆=1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点M的轨 迹方程是.,(交轨法)由已知,A1(-3,0),A2(3,0).设P1(x1
26、,y1),则P2(x1,-y1),交点M(x,y),则由A1、P1、M三点共线,得=.又A2、P2、M三点共线，得=.得=.又=1,即=,从而=,即.,1.曲线与方程关系的理解.(1)曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同时满足两个条件：曲线上所有点的坐标均满足方程；适合方程的所有点均在曲线上.(2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.,(3)视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程，则曲线上的点集(x,y)与方程的解集之间建立了一一对应关系.2.求轨迹方程方法实质剖析.(1)
27、轨迹问题的实质就是用动点的两坐标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系.在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系.当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0，就是曲线方程的普通形式;,当x,y的关系用一个变量(如t变量)表示时，坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示式就是曲线的参数方程.所以解决问题时，应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探究.(2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法，它从动点运动的规律出发，整体把握点在运动中不动的、不变的因素，从而得到了动点运动规律满足某一关系，简单地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐标，而直接找动点所满足的几
28、何性质(往往是距离的等量关系).,由于解析几何研究的几何对象的局限性，直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距离的关系来定义曲线的，所以利用定义法求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足的距离关系，判断它是否满足五种曲线的定义，从而使问题快速解答.,1.已知R,则不论取何值，曲线C：x2-x-y+1=0恒过定点(),D,A.(0,1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(1,1),由x2-x-y+1=0,得(x2-y)-(x-1)=0.x2-y=0 x=1 x-1=0 y=1,可知不论取何值,曲线C过定点(1,1).,依题设,即,2.已知kR,直线y=kx+1与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是.
29、,1,5)(5,+),由于直线y=kx+1过定点P(0,1)，则当P(0,1)在椭圆上或椭圆内时，直线与椭圆恒有公共点，因此m且m5,求得m1,5)(5,+).,3.双曲线x2-y2=4上一点P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q，已知O为坐标原点，则POQ的面积为定值.,1,如图,双曲线x2-y2=4的两条渐近线为y=x,即xy=0.又|PQ|=,|PR|=，所以SPOQ=|PQ|PR|=1.,4.已知定点A(2,3),F是椭圆=1的右焦点,M为椭圆上任意一点,则|AM|+2|MF|的最小值为.,6,由于点A在椭圆内，过M点作椭圆右准线x=8的垂线，垂足为B.由椭圆第二定义，得2|
30、MF|=|MB|，则|AM|+2|MF|AM+|BM|，当A、B、M三点共线且垂直于准线时，|AM|+2|MF|的最小值为6.,1.若探究直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为f(x,y)+g(x,y)=0(其中为参变数)，由 f(x,y)=0 g(x,y)=0确定定点坐标.,2.在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形.3.解析几何中的最值问题，或数形结合，利用几何性质求得最值，或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数，然后应用代数方法求得最值.,再见谢谢,
