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1、复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。,自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.,第一章 复数与复变函数,复数复数表示及运算平面点集复变函数极限和连续性,复数、复数表示及运算,复数的概念,复数相等,复数,形如z=x+iy的数被称为复数，其
2、中x,yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1,z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1,复数不能比较大小,复平面,复数与平面向量一一对应,模,幅角,并规定幅角按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.,当 z=0 时,|z|=0,而幅角不确定.arg z可由下列关系确定:,说明：当 z 在第二象限时，,例3 求 和,解,复数的表示,代数表示：z=x+iy,三角表示：,指数表示：,注意,在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差,例4 求 的三角表示式与指数表示式.,解,因为,所以,设,则,又因为 位于第II象限,所以
3、,于是,例4 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),z在第三象限,因此,因此,2)显然,r=|z|=1,又,因此,复数的运算,设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数,复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则,乘法运算,两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加,除法运算,两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减,复数四则运算规律：,（1）加法交换律,（2）乘法交换律,（3）加法结合律,（4）乘法结合律,（5）乘法对于加法的分配律,共轭运算,复数z=x+iy的共轭复数为,共轭复数为 是复数z关于实轴的对称点,共轭复数的运算性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6
4、）,（7）为实数.,.,例1 化简,解,例2 设，求 及,解,所以,1.复数的乘幂,设 为正整数，个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为，即,若，则有,当 时，得到著名的棣莫弗公式,例7 求,解,因为,所以,例8 已知，求,解,因为,所以,复数的方根,称满足方程 的复数 为 的 次方根，记作,或记作,令,解出,由,即,可求出6个根，它们是,例 解方程,解 因为,所以,例2 计算,解 因为,所以,即,练习,平面点集,邻域,平面上以 为心，为半径的圆：内部所有点 的集合称为点的 邻域，记为，即,称集合 为 的去心 邻域，记作,开集 如果点集 的每一个点都是 的内点，则称 为开集.闭集如果点集
5、 的余集为开集，则称 为闭集.连通集 设是 开集，如果对于 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称开集 是连通集.,区域,区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域.闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为.,平面图形的复数表示,很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。,例1：,Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为,Z平面上以 Z0为中心、R为半径的圆周方程为,连接z1 和z2两点的线段的参数方程为,过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为,例2：,考察下列方程（或不等式）在平面上所描
6、绘的几何图形。,（1）,该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y=x。,（2）,设 z=x+iy,（3）,表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角,的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴,正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）,（4）,例3：指出不等式,中点z的轨迹所在范围。,解：,因为,所以,于是有,它表示在圆,外且属于左半平面的所有点的集合,图 1,1.简单曲线、简单闭曲线,平面曲线,若存在满足,且,的,使,重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或,则称此曲线C有，,约当（Jordan）曲线；,
7、除 外无,其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如,是一条简单闭曲线（如图1）.,在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的 是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的，不是简单曲线，但 是闭曲线.,图1.10,图1.11,2.光滑曲线、分段光滑曲线设曲线 的方程为 若，在 上可导且，连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.3.单连通域、多连通域设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都在 中，则称区域 为单连通区
8、域；否则称 为多连通区域或复连通区域.,在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.,图1.12,练习,考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形，并指明它是有界还是无界，是单连通还是多连通。,复变函数,复变函数之定义,设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。,说明1,如果z的一个值对应
9、着的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。,复变函数=f(z)可以写成=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy,z平面,平面,=iz=zexp(i/2),例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.,解 设，代入 得,比较实部与虚部得，,例2 将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数,化为一个复变函数.,解 设，则,将，以及代入上式，经整理后，得,复变函数的极限与连续,1.函数极限的定义:,一.函数极限:,几何意义:,复变函数的极限四则运算法则：,与实变函数的极限性质类似.,惟一性,复合运算等,定理1.1,2
10、.极限计算的性质,例3 试求下列函数的极限.,（1）,（2）,解,（1）法1 设，则，且,得,法2,（2）设，则，得,（2）,例2 证明函数 在 时极限不存在.证 设，而考虑二元实函数 当 沿着（为任意实数）趋向于，即,显然，极限值随 值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，在 趋向于 时的极限不存在，即得结论.,二、函数的连续性定义5 设 在点 的某邻域内有定义，若，则称函数 在点 处连续.若 在区域 内每一个点都连续，则称函数 在区域 内连续.定理1.2 函数，在 处连续的充要条件是 和 都在点 处连续.,连续的三要素:,（1）f(z)在z0处有定义,（2）f(z)在z0处有极限,（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值,连续函数的性质,定理1.2,例4 求,解,因为 在点 处连续，故,例5 证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。,证明,最值性质当 在有界闭区域 上连续 则 也在 上连续，且可以取得最大值和最小值；,有界性 在 上有界，即存在一正数，使对于 上所有点，都有,一致连续性f(z)在有界闭集D上一致连续.即0,0 当z1,z2E且|z1-z2|有|f(z1)-f(z2)|,
