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1、多维数字信号处理,主讲：陈绵书,2023/8/11,图像与视频处理实验室,2,教材多维数字信号处理，（美）达吉恩（Dudgeon，D.E.），（美）默塞里奥（Mersereau，R.M.）著；程佩青等译。科学出版社。1991.12参考书多维数字信号处理，何振亚著。国防工业出版社。1995多维数字信号处理，（日）川又政征。科学出版社。2003,2023/8/11,图像与视频处理实验室,3,第一章 多维信号与系统,多维信号M个独立变量的一个函数。分类连续，取值连续的几个独立变量的函数；离散，由一些点的集合所确定的函数；混合，几个连续变量和离散变量的函数。,2023/8/11,图像与视频处理实验室,
2、4,1.1 二维离散信号,定义在有序整数对的集合上定义的一个函数1.1.1 某些特殊的序列二维单位冲激其中,2023/8/11,图像与视频处理实验室,5,1.1 二维离散信号（续1）,二维线冲激序列一个变量方向上均匀，另一变量方向上冲激二维单位阶跃序列其中,2023/8/11,图像与视频处理实验室,6,1.1 二维离散信号（续2）,指数序列复正弦序列令则,2023/8/11,图像与视频处理实验室,7,1.1 二维离散信号（续3）,1.1.2 可分序列定义可以表示成一维序列乘积的序列具有有限个非零抽样的二维序列分解,2023/8/11,图像与视频处理实验室,8,1.1 二维离散信号（续4）,1.
3、1.3 有限区域序列定义在 平面的有限区域（或范围）之外信号为零。相应有限区域称为信号的支撑区。支撑区分类1.矩形；2.正方形；3.其他形状。,2023/8/11,图像与视频处理实验室,9,1.1 二维离散信号（续5）,1.1.4 周期序列矩形二维周期序列 分别为水平周期和垂直周期。平面内任何一个由 个独立抽样构成的连贯区域，称为二维序列的一个周期。可以是矩形，也可以是不规则形状。,2023/8/11,图像与视频处理实验室,10,1.1 二维离散信号（续6）,一般二维周期序列条件令则该序列的周期是由 和 为邻边所组成的平行四边形区域，区域内的抽样数是。,2023/8/11,图像与视频处理实验室
4、,11,1.1 二维离散信号（续7）,维周期序列令 表示 重的有序整变量。如果存在 个线性独立的 维整矢量 使满足则称 为 维周期序列，称各矢量 为周期性矢量，令，则称 为周期性矩阵。周期性矩阵不唯一：对于整数矢量 有对于整数矩阵 有,2023/8/11,图像与视频处理实验室,12,1.2 多维系统,1.2.1 多维信号的基本运算加法数乘移位,2023/8/11,图像与视频处理实验室,13,1.2 多维系统（续1）,二维序列分解乘法非线性运算加于二维序列的每一抽样值上的运算是独立的，例：,2023/8/11,图像与视频处理实验室,14,1.2 多维系统（续2）,1.2.2 线性系统条件：1）如
5、果输入信号是两个序列之和，则输出信号亦为两个对应输出序列之和；2）用标量乘输入信号产生同一标量乘输出信号。表示：若 是线性系统，且，则,2023/8/11,图像与视频处理实验室,15,1.2 多维系统（续3）,线性系统的输出,2023/8/11,图像与视频处理实验室,16,1.2 多维系统（续4）,1.2.3 移不变系统定义：如果输入序列作某一移位，则输出序列作相应的移位。表示：如果，则线性和移不变性相互独立 是线性的，但不是移不变的；是移不变的，但不是线性的。,2023/8/11,图像与视频处理实验室,17,1.2 多维系统（续5）,1.2.4 线性移不变系统系统输出线性系统的输出为若系统是
6、移不变的，则空间变化冲激响应为因为，所以如果定义，则输出序列为,2023/8/11,图像与视频处理实验室,18,1.2 多维系统（续6）,输出序列的另一种表示输出的二维卷积表示输出的矢量表示,2023/8/11,图像与视频处理实验室,19,1.2 多维系统（续7）,1.2.5 系统的级联和并联卷积交换律卷积结合律卷积分配律,2023/8/11,图像与视频处理实验室,20,1.2 多维系统（续8）,级联系统考虑两个系统，第一个的输入是第二个的输入。第一个系统输出第二个系统输出系统等效的冲激响应并联系统两个系统有共同的输入，各自输出相加得到输出。系统输出为系统等效的冲激响应,2023/8/11,图
7、像与视频处理实验室,21,1.2 多维系统（续9）,1.2.6 可分系统定义冲激响应是可分序列的线性移不变系统。表示,2023/8/11,图像与视频处理实验室,22,1.2 多维系统（续10）,1.2.7 稳定系统有界稳定BIBO（有界输入，有界输出）定义：当 时，必须存在，使得对所有的，有充分必要条件均方稳定,2023/8/11,图像与视频处理实验室,23,1.2 多维系统（续11）,1.2.8 支撑区定义：抽样值不为零的区域分类：1）有限支撑区；2）象限支撑区楔形支撑区：如果序列的非零点是在有两条通过原点的辐射线所包围的一个扇形内部点（以及边界点）上，而且两条射线间的夹角限制为小于180楔
8、形支撑区到象限支撑区的映射令 和 处于楔形区的边沿，且，则变换为,2023/8/11,图像与视频处理实验室,24,1.3 信号和系统的频域表征,1.3.1 二维线性移不变系统的频率响应频率响应输入输出系统的频率响应周期性,2023/8/11,图像与视频处理实验室,25,1.3 信号的频域表征（续1）,例：冲激响应频率响应,2023/8/11,图像与视频处理实验室,26,1.3 信号的频域表征（续2）,例：冲激响应频率响应,2023/8/11,图像与视频处理实验室,27,1.3 信号的频域表征（续3）,可分性如果，则其中，M维系统频率响应M维输入矢量形式其中系统输出M维频率响应,2023/8/1
9、1,图像与视频处理实验室,28,1.3 信号的频域表征（续4）,1.3.2 由频率响应确定冲激响应,2023/8/11,图像与视频处理实验室,29,1.3 信号的频域表征（续5）,例：频率响应冲激响应,2023/8/11,图像与视频处理实验室,30,1.3 信号的频域表征（续6）,例：频率响应频率响应不可分。,2023/8/11,图像与视频处理实验室,31,1.3 信号的频域表征（续7）,冲激响应为采用极坐标形式在圆区域内进行积分。定义则,2023/8/11,图像与视频处理实验室,32,1.3 信号的频域表征（续8）,沿 轴，有以下形式,2023/8/11,图像与视频处理实验室,33,1.3
10、信号的频域表征（续9）,1.3.3 多维傅里叶变换正变换反变换存在条件卷积定理如果，则,2023/8/11,图像与视频处理实验室,34,1.3 信号的频域表征（续10）,证明给定一个二维线性移不变系统，冲激响应为频率响应为，则,2023/8/11,图像与视频处理实验室,35,1.3 信号的频域表征（续11）,1.3.4 二维傅里叶变换性质傅里叶变换对线性 如果 且，则空间位移 如果 则调制 乘积,2023/8/11,图像与视频处理实验室,36,1.3 信号的频域表征（续12）,导数换位反射复共轭实部与虚部,2023/8/11,图像与视频处理实验室,37,1.3 信号的频域表征（续13）,实部与
11、虚部当 为实序列，有Parseval定理如果，且则,2023/8/11,图像与视频处理实验室,38,1.4 连续二维信号的抽样,1.4.1 具有矩形几何形状的周期抽样信号产生如果 是二维连续波形，则矩形抽样离散信号为二者傅里叶变换之间的关系定义连续信号的二维傅里叶变换,2023/8/11,图像与视频处理实验室,39,1.4 连续的抽样（续1）,代入表达式代入得令 表示正方形，则,2023/8/11,图像与视频处理实验室,40,1.4 连续的抽样（续2）,令，于是所以或,2023/8/11,图像与视频处理实验室,41,1.4 连续的抽样（续3）,当连续信号 是限带信号时，有，当，则有：1）当，2
12、）当，其值由 的周期性来给出。,2023/8/11,图像与视频处理实验室,42,1.4 连续的抽样（续4）,信号的恢复 与 之间的关系其中，,2023/8/11,图像与视频处理实验室,43,1.4 连续的抽样（续5）,2023/8/11,图像与视频处理实验室,44,1.4 连续的抽样（续6）,1.4.2 具有任意抽样几何形状的周期抽样定义线性无关矢量，则 平面中双抽样集合位置为矢量关系式为，其中，为抽样矩阵。抽样连续信号 产生的离散信号为,2023/8/11,图像与视频处理实验室,45,1.4 连续的抽样（续7）,傅里叶变换与 傅里叶变换之间的关系 二维傅里叶变换定义为：且 二维傅里叶变换定义
13、为：且,2023/8/11,图像与视频处理实验室,46,1.4 连续的抽样（续8）,因为 是通过抽样 得到的，所以有令，则所以，等效可得，其中,2023/8/11,图像与视频处理实验室,47,1.4 连续的抽样（续9）,矩形抽样情况当，,2023/8/11,图像与视频处理实验室,48,1.4 连续的抽样（续10）,抽样与恢复对于一个中心在原点边长为 的区域内的各个，有所以则，其中,2023/8/11,图像与视频处理实验室,49,1.4 连续的抽样（续11）,1.4.3 矩形抽样和六边形抽样的比较六边形抽样抽样矩阵，其中周期性矩阵，其中若，则上述周期性矩阵表示六边形区域,2023/8/11,图像与视频处理实验室,50,1.4 连续的抽样（续12）,矩形抽样和六边形抽样效率比较二维圆限带信号的傅里叶变换，1）正方形抽样矩阵，2）六边形抽样矩阵，六边形抽样数比矩形抽样数少13.4%，效率高。,
