《大值最小值及其在最优化中的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大值最小值及其在最优化中的应用.ppt（19页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、15-2函数的最大值与最小值,复习旧知识：1、f(x0)是函数f(x)的一个极大值这一概念是怎样叙述的？2、f(x0)是函数f(x)的一个极小值这一概念是怎样叙述的？3、求函数的极值的步骤是哪四步？,0,x,y,a,b,x0,y=f(x),f(x0),f(b),一、函数的最大值与最小值 定义:设f(x)是区间a,b上的连续函数，如果存在点x0a,b，使得对于所有xa,b，都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)在a,b上的最大值（或最小值）。最大值和最小值统称最值。,可以看出,函数在区间a,b上的最大值和最小值要么是区间端点的函数值，要么是极值。而极值点又包
2、括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大值和最小值来。最大值和最小值统称最值。,求函数最值的一般方法：先求出f(x)在a,b内的所有驻点（或不可导但连续的点），将这些点的函数值与区间端点的函数值f(a),f(b)进行比较，其中最大（小）的就是函数在区间a,b上的最大（小）值,例1：求函数 在区间-4，4上的最值解：令，解之得驻点 驻点函数值 端点函数值 比较以上函数值的大小，可得函数的最大值为 最小值为,注：如果连续函数f(x)在区间（有限或无限，开或闭）内只有一个驻点x0，而这个驻点又是极值点，那么，当f(x0)是极大值时，它就是最大值
3、；当f(x0)是极小值时，它就是最小值。,y,x,练习:习题15-2 第 题,二、函数最值应用问题举例,在工农业生产，科学技术研究和经营管理中，常常会遇到在一定条件下，怎样使用料最省，产量最多，成本最低，效益最大等最优化问题。这些问题通常可以用数学上求函数的最大值或最小值的办法来解决。下面的实际应用问题，我们曾经建立过它的数学模型。,例题1：有一边长为48厘米的正方形铁皮，从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正方形，才能使所做的铁盒容积最大？,解：（1）设截去的小正方形边长为x,盒子的容积为y.盒子容积即长方体体积，等于底面积乘高，即盒子容积与截去
4、的小正方形边长之间的函数关系为,（2）问题转化成求容积 y 的最大值，同时求出小正方形边长x.由上一节求函数最值的程序，应先求导数及驻点。,令 解之得驻点（此根不在定义域范围，舍去）,（3）由上一节求函数最值的程序，应把驻点的函数值与闭区间端点的函数值进行比较，但这是开区间，没有端点，又只有一个驻点，根据常识，铁盒必然存在一个最大容积，因此这个驻点就是使函数（铁盒容积）取最大值的最大值点。即 当截去的小正方形边长为8（厘米）时，使铁盒容积最大。,（1）设出自变量和函数的字母，列函数式，并找出自变量取值范围。（2）求导数，并求 的根，即驻点。（3）如果定义域为闭区间，则用求函数最值的办法求解。如
5、果定义域为开区间，且只有一个驻点，那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或最小值点。,由上例可以得出求实际应用问题最大值和最小值的一般步骤：,互动练习题:如图,靠墙建一个矩形的猪圈,现只有围60米的建筑材料.问长和宽怎样选取,可以使猪圈的面积最大?,小结:,1,求函数最值的一般方法：先求出f(x)在a,b内的所有驻点（或不可导但连续的点），将这些点的函数值与区间端点的函数值f(a),f(b)进行比较，其中最大（小）的就是函数在区间a,b上的最大（小）值,2,求实际应用问题最大值和最小值的一般步骤：,（1）设出自变量和函数的字母，列函数式，并找出自变量取值范围。（2）求导数，并求 的根，即驻点。（3）如果定义域为闭区间，则用求函数最值的办法求解。如果定义域为开区间，且只有一个驻点，那么这个驻点就是这个实际问题的最大值点或最小值点。,课后作业,辅导与测试：P,
