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1、、奇函数与偶函数的傅里叶级数,8.4.3 函数 f(x)在 0,上展开为正 弦级数与余弦级数,8.4 正弦级数与余弦级数,展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，,称为正弦函数，,只含有余弦函数包括常数项的称为余弦级数.,假设以 2 为周期的周期函数 f(x),在,内是奇函数，,那么傅里叶级数一定是正弦级数.,即,此时傅氏系数,、奇函数与偶函数的傅里叶级数,于是在区间()内 f(x)cosnx 为奇函数，,而奇函数在对称区间上的积分为零，,所以,又因 f(x)sinnx 在区间()内是偶函数，,故有,同理可以推出，当函数 f(x)是偶函数时，其展开式为余弦级数，,即,此时傅里叶系数为,试将其展开成
2、傅里叶级数.,解 函数 f(x)的图形如图所示，,因此我们应根据(12.6.6)式计算傅里叶系数.,由图形的对称性可知 f(x)是偶函数，,即,故所求的傅里叶级数收敛于 f(x)，,又因为 f(x)处处连续，,(x)称为f(x)的周期延拓函数.,且以 2 为周期的函数，,如果(x)满足收敛定理的条件，,我们设想有一个函数(x)，,设函数 f(x)定义在 0,上，,它是定义在()上,而在 0,上，,(x)=f(x).,那么(x)在()上就可展开为傅里叶级数，,取其 0,上一段，,即为 f(x)在 0,上的傅里叶级数，,8.4.3 函数 f(x)在 0,上展开 为正弦级数与余弦级数,在理论上或实际
3、工作中，,下面的周期延拓是最为常用:,将 f(x)先延拓到(,0)，,使延拓后的函数成为奇函数，,然后再延拓为以 2 为周期的函数.,这种延拓称为周期奇延拓;,这种延拓称为周期偶延拓.,将 f(x)先延拓到(,0)，,使延拓后的函数为偶函数，,然后再延拓为以 2 为周期的函数，,显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，,其傅里叶系数按公式(12.6.5)计算.,即,(因在 0,上，(x)=f(x).,周期偶延拓的结果为余弦级数，,其傅里叶系数公式为,例 5试将,解按式(12.6.8)计算傅里叶级数，,且延拓的函数在 x=0，处连续，,因此,(0 x).,展开成正弦级数.,例 6 试将函数,0 x,解 按公式(),当 x=时，收敛于 0.,所以,
