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1、3.3 实对称矩阵特征值和特征向量,永远可以对角化。,实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。,这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，,定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。,一、实对称矩阵特征值的性质,证明：设,是 阶实对称矩阵，,是矩阵 的在复数,域上的任一特征值，,属于 的特征向量为,两边取复数共轭得到,则，,于是，,(4.11),由于，,对最后一式取复数转置，,得到,两边再右乘，,得到,所以有,特征值都是实数。,这样，是实数。,由 的任意性，,实对称矩阵 的,特征向量都是实数向量。,附注：,进一步地有，,实对称矩阵,的属于特征值的,一、实对称矩阵特征值的性质,定理4.12 实对称矩阵的特
2、征值都是实数。,对上面第一式两边左乘，,的特征向量。,定理4.13,实对称矩阵,的属于不同,特征向量相互正交。,证明：,特征值的,设，,是实对称矩阵 的不同特征值，,，,分别是属于特征值，,于是,，,得到,（4.12）,而,于是有,这样，由 得到,是正交的。,，即,与,特征向量相互正交的线性无关组。,【注】,实对称矩阵,的属于不同特征值的,向量 和 对应特征向量,在4.1中里4中，,例1,矩阵,是实对称矩阵，,特征值（二重）,对应特征,都正交。,把它们化为标准正交组。,当然，,彼此不正交，,但可以通过,标准正交化方法,为 矩阵。,把 分块为，,也是 的属于 的,定理4.14,设,是阶,实对称矩
3、阵,则,存在正交阵,使 为对角阵.,下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。,证明：,对矩阵,的阶数,用数学归纳法。,当 时,定理结论显然成立.,假设对于所有,阶实对称矩阵来说定理成立。,故不妨设 是单位向量，,设,是 的一个特征值，,是属于特征值 的,特征,向量,显然单位向量,特征向量.,第一列任意正交矩阵。,记,是以 为,其中,则,及 与 的各列向量都正交，,注意到,根据归纳法假设，,其中,为 阶实对称矩阵。,使得,对,存在 阶正交矩阵,所以,并且,令，,则,均为 阶正交矩阵，,这表明,阶实对称矩阵定理结论成立。,为对角矩阵。,根据数学归纳法原理，,对任意,对每个,其中 为 重的，,二、实对
4、称矩阵对角化方法,具体步骤如下:,根据定理4.14，,任意一个实对称矩阵都可以对角化。,求出 的所有特征值,第一步,对给定实对称矩阵，,解特征方程，,设 的所有不同的特征值为,；,第二步,解齐次线性方程组,求出它的一个基础解系；,得到正交向量组，,第三步,利用施米特正交化方法，,把,正交化，,再把 单位化，,得到一个,标准正交组，；,注意：,它们都是属于,的线性无关特征向量！,且,第四步,令，,则,是正交阵,为对角阵，,与 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。,附注：,矩阵,主对角线元素（特征值！）排列顺序,（实对称矩阵A 的标准形！）,在不计排列顺序情况下，,这种对角化形式,是唯一的
5、。,例2 对矩阵,求一正交阵,使,成对角矩阵。,的特征多项式为,解：,矩阵,解特征方程得特征值（二重），。,即求解,对于，,解齐次线性方程组,得到一个基础解系，。,对于，,即求解,解齐次线性方程组，,得到一个基础解系。,把,正交化：,得到,将,单位化，,构造矩阵,的属于0的特征向量为,。,则,为正交矩阵，,并且使得矩阵,对角化为：,，求矩阵。,例3,设三阶实对称矩阵,的特征值为，,（二重），,而,解：,因三阶实对称矩阵必可对角化，,本题中,对应于二重,特征值1的线性无关向量,应有两个特征向量组成，,设为,。,根据定理4.13,它们都与 正交，,故 是,齐次线性方程组,的基础解系，,所以，可取,（彼此正交）,将它们单位化：,则，,是正交组，,构造矩阵,则 为正交矩阵，,对角化为：,并且使得,矩阵,于是,
