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1、第一章命题与命题公式第01讲命题与命题联结词(一)1.1 命题与命题联结词选择题考点1.1.1 命题与命题的表示推理：由一个或几个已知的前提，推导出一个未知结论的思维过程。真值：表达这些前提的陈述句是否成立的一个属性。当陈述句成立时，其真值为真，表示为T(TrUe)。例：地球是行星。当陈述句不成立时，其真值为假，表示为F(FalSe)。例：2是无理数。命题：具有唯一真值的陈述句称作命作，也称为语句。*疑问句、句叹句、祈使句等都不能构成命题。真值为真的命题一真血题真值为假的命题一假命题例：判断下列句子中哪些构成命题。8不是素数；雪是黑的；到2049年世界人口将超过90亿；喜马拉雅山好高啊！Xx+
2、l=2X总结:.判断命题的两个条件语句本身是个陈述句；它有唯一的真值。命题的表示命题可用大小写英文字母或字母加数字的形式来表示。例：P或p；Pl或Ch命题为真时，其真值用T或“1”表示。命题为假时，其真值用“F”或“0”表示。例：P：所有的素数都是奇数。真值为FQ：6是一个合数。真值为T【单选题】下列句子不是命题的是()。A.中华人民共和国的首都是北京B.张三是学生C.雪是黑色的D.太好了正确答案D答案解析D选项不是陈述句，故不是命题。参见教材PI8。1.1.2 复合命题与联结词原子命题/简单命题：不能再分解的命的。例：张三是学生。8不是素数。复合命题：由原子命题通过联结词联结而成的命题。例：
3、如果今年有假期，我将去欧洲旅游。尽管我在减肥，但是我还是想吃饭。【单选题】下列语句是原子命题的为（）。A.xyxyB.请给我来点掌声吧C.小明既爱唱歌又爱跳舞D.火星上有生物正确答案D答案解析JA、B选项不符合命题要求；C选项为复合命题，故选D。参见教材Pl9。数理逻辑中常用的联结词1 .否定设P为命题,P的否定是一个复合命题，记作注。符号褥作否定联结词。命题r）读作“非p”。例：P：今天是星期五。-P：今天不是星期五。*真值表：复合命题的真值依命题中所含各原子命题的真值来确定，可用一张表来表示，这样的表称为真值表。若P为,P为F;若P为尸，贝卜P为7。的定义PPTFFT2 .合取设RQ为两个
4、命题，尸和Q的合取是一个复合命题，记作PAQ。符号称为合取联结词。（表示：P例：P：2是偶数。Qi2是素数。P/Q：2既是偶数，也是素数。【注意】1 .有时表示并列的“与”“和”不对应于合取。例：“我与王强是同学”中的“与”连接的是并列的主语，而非两个原子命题。2 .复合命题中PAQ中的两个原子命题可以互换位置，即PAQ与QP的含义是相同的，真值表也一样。3 .复合命题所含的多个原子命题之间可以没有逻辑关联性。4 .“合取”可将两个互为否定的命题联结在一起，例：PA-Po的定义举例这套家具是明代的这套家具是檀木的这套家具是明代的，并且是檀木的TT9TF?FT?FF9当且仅当尸、Q同时为T时/A
5、Q为工,其余情况PAQ为八的定义PQPAQTTTTFFFTFFFF5 .析取2Sr三例：王小林是运动会的跳高或100米短跑的冠军。设P：王小林是运动会的跳高冠军。Q.王小林是运动会的100米短跑冠军。*此命题表达的是王小林或者是跳高冠军，或者是短跑冠军，也有可能是两个项目的冠军。可用PVQ表示。一一“同或”例：王小林今天或者去美国，或者去欧洲。设P：王小林今天去美国。Q：王小林今天去欧洲。*此命题表示的是王小林只能去一个地方。不可用PVQ表示。一一“异或”同或：“或”表示的是“相容”的含义，即两者并不互相排斥，可能同时成立。可以用V表示。异或：“或”表示的是“异或，即复合命题中的两个原子命题不
6、会同时成立，它们之间具有排斥性。可表示为(PAP)VCPAQ)OV的定义一一举例这套家具是明代的这套家具是檀木的这套家具是明代的，或者是檀木的TT?TE2FT9FF9当且仅当P、Q同时为尸时，PVQ的真值为凡其余情况PVQ的真值为T。V的定义PQPVQTTTTFTFTTFFF第02讲命题与命题联结词(二)4 .条件财Q为两仝血题,一呻Q组成或条件命题是一个复合命题一记作2。符号一称为条件联结词。读作：“如果P,那么Q”或“若P则Q”。P：前件或前提；Q：后件或结论。*条件命题前后件不可互换位置。例：P：我考试通过。Q：我拿到合格证书。P-Q：如果我考试通过，就能拿到合格证书。一的定义举例太阳落
7、山了天暗下来了如果太阳落山了，那么天暗下来了TT9T1;9FT9F1;9当且仅当P的真值为T,Q的真值为正时，PfQ的真值为凡其余情况PfQ的真值为T。一的定义PQP-QTTTTFFFTTFFT5 .双条件设P、O为两个命题，P和。组成的双条件命题是一个复合命题，记作P一。符号一称为双条件联结词。读作：P当且仅当Q。*双条件命题中的两个原子命题互为条件，所以可以交换。例：P：实数R可以表示为分数。Q：实数R是有理数。P-Q：当且仅当实数R可以表示为分数时，R是有理数。一的定义举例宙斯是阿波罗的父亲阿波罗是宙斯的儿宙斯是阿波罗的父亲，当且仅当阿波罗是宙斯的儿子TT9TF?FT7FF?当P和Q的真
8、值相同时，PJQ的真值为T,否则P-Q的真值为产。一的定义PQP4QTTTTFFETFFFT例：将下列命题符号化。如果今天不下雨而且不刮风，我会去爬山。f)fR若今天是星期一，则明天是星期二。P-Q只有今天是星期一，明天才是星期二。QfP命题Pfq表示“q是P的必要条件”。例：设P：今天下雨，Q：今天刮风，R：我去爬山。将下面命题用自然语言表达。(PvQ)一R今天要是下雨或者刮风，我就不去爬山了。RfTP/VQ)如果我去爬山了，则今天既没下雨也没刮风。PAlQ今天下雨了，但没有刮风。【单选题】设P：我在家，Q：天下雨，命题“只要天下雨，我就在家”的符号化正确的是()。A.PfQB.PZQC.-
9、PV-,D.Q-P正确答案D答案解析命题p-q表示“q是P的必要条件”。例如自然语言表述中“只要p,就q”等表示方法。参见教材P23。【单选题】令p：他怕困难，Q：他战胜困难。命题“他战胜困难是因为他不怕困难”的符号化形式为()OA. RfqB. 1q-*pC. pqD. qp正确答案A答案解析J本题由“不怕困难”推出“战胜困难”，因此选A。参见教材P23。总结常用联结词符号表示表达含义否定PP的否定合取PAQP并且Q析取PVQP或者Q条件P-Q如果P,那么Q双条件P-QP当且仅当Q第03讲命题公式的等值演算(一)1.2 命题公式的等值演算1.2.1 命题公式命题常项:当符号P代表一个具体的命
10、题时，此时P的真值是确定的，符号P称为命题常项。命题变元:当符号P仅仅表示是一个命题，但并没有指明是哪个命题时，P为命题变元。定义将命题用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联结起来的符号串称为命题公式，也称为合式公式。(1)单个命题变元和命题常项是合式公式，并称为原子命题公式。(2)若A是合式公式，则(X)是合式公式。(3)若4、B是合式公式，则(4八8)、(4V8)、(A-B)(4-8)是合式公式。(4)有限次地应用(1)(3)形成的符号串是合式公式。例：P、PQ.PVQ、P-Q、P-Q、(PAQ)-R例：设P、Q、R分别代表命题变元或命题常项，给定以下字符串，判断哪些是合式公式。(1) (PA
11、Q)(2) (PQ)VCPV)(3) PQVQPVQ)(4) PVfQX合式公式还有以下约定：(1)合式公式的最外层括号可以省略；(2)不影响运算次序的括号也可以省略；(3)联结词的优先次序为，A,V,-,一。定义设4公式4的一部分，且4是一个合式公式，称4的子公式，或公式分L例：指出以下所给合式公式中的子公式有哪些。A：(PVQ)J(R-LPAQ)它的子公式有以下一些：Al:PA2:QA3:RA1:P4：PVQ4：FAQ4：RfQPAQ)【定义】设4为一命题公式，PPz,Pn出现在4中的所有命题变元，对PP2,Pn各指定一个真值称为对A的一种指派或赋值。(5) 真指派：指定的一种指派使A的值
12、为真。(6) 假指派:指定的一种指派使A的值为假。根据组合理论可知，含几个命题变元的命题公式，共有2,组指派。例：PfQP=O,Q=OP=LQ=OP=0,Q=IP=l,Q=IPfQ有3个成真指派，1个成假指派。真值表：将命题公式A在所有指派下的取值情况列成表。构造真值表的步骤：例：构造PAQ1.找出公式中所含的全体命题变元，设为P,Pz,Pn,列出2个赋值，依次写出每个赋值。PQFFFTTFTT2.按从简到繁的顺序写出公式的各个子公式。PQPAQFFFTTFTT3.对应各个赋值计算出各子公式的真值，直到最后计算出公式的真值。PQPAQFFFFTFTFFTTTPAQ的成假赋值：FF.FT、TF例
13、：构造下列合式公式的真值表，并指出其成假赋值。PTQfR)PQRQfRPf(QfR)FFFTTFFTTTFTFFTFTTTTTFETTTFTTTTTFFFTTTTTPTQfR)PQRQiRP(QfR)FFFTTTFTTTTTFFFTTTTTPf(QfR)的成假赋值有1个：TTF【填空题】命题公式PAQ的成真指派为,成假指派为。IB正确答案11；00,01,10答案解析八的定义是只有当P、Q都为真时合取才为真。故只有“11”才是成真指派，其余“00,01,IOw都为成假指派。参见教材P26。定义给定两个命题公式4和B,设R,Pg,Pn所有出现于4和B中的原子变元，若给P“P&,Pn任一组真值指派
14、，A和B的真值都相同，称A和B是等值的或等价的，记为40瓦若至少存在一组真值指派，使得A和8的真值不相同，称A和B不等值或不等价，记为A-B.*符号Q和O都不是联结词，只是用来说明A与3是否等值的一种记法。*重要公式：PfQbPMQ,(PAQ)V(-P-Q)【计算题】用列真值表的方法说明下列逻辑等价式成立。(Pf(QiP)=V-(Q-P)正确答案PQQfPPf(QfP)PQfrPP-(QfrP)0011111010111110110111111001答案解析根据构造真值表的方法构造真值表即可。参见教材P26.【定义】设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下,取值均为真重言式或永真式取值均为假
15、矛盾式或永假式至少存在一组成真指派可满足式至少存在一个成假赋值非重言式的可满足式例：判断FP-Q)Q是重言式、矛盾式还是可满足式。FPfQ)AQ的真值表PQP-Q(P-Q)(P-*Q)AQTTTFFTFETFTTEFFFTFF由表可知，(P-Q)/Q是矛盾式。常用的命题定律双重否定律AQFA事等律AoAVA,AoAAA结合律(AVB)VC=AV(BVC)(AAB)CA(BAC)交换律VBBVBB分配律AV(BAC)(AVB)A(AVC)AA(BVC)=(AAB)V(AAC)吸收律AV(AAB)0A,AA(AVB)OA德摩根律-,(AVB)E蕴含等值式AfB=XVB等价等值式A一BQ(AfB)八
16、(BfA)假言易位AfBQ-IBfF等价否定等值式AB-,A4则（八）(B)o例：用等值演算法验证等值式：PQ(PAQ)V(PA-Q)0证明：右=(PAQ)V(PA-Q)P (QV-IQ)PT0P =左(分配律)(排中律)(同一律)【定义】当且仅当Pfo是一个1言式时，我仍称“pat涵，并记作P7。称P奥涵。或再涵式，亦称作永直条件式。蕴涵式有下列性质：(1)(2)(3)(4)对任意公式4 对任意公式4、 对任意公式4、 对任意公式4、MC, B和C, B和C,若A=B, B=C, 若A=8, A=C, 若A=C, B=C,则 A=C；则An (BAC)；有 AV8=C.定理：1.设4、B为两
17、个命题公式,4=8,当且仅当4一8为一个重言式。2.设A、B为任意两个命题公式，A=B的充分必要条件是A=B旦8=儿推理定律PAQnP化简律PAQ=Q化简律P=(PVQ)附加律IP=PfQ变形附加律Q=PfQ变形附加律(P-Q)=P变形简化律r(PfQ)=-Q变形简化律PA(PfQ)=Q假言推理(PiQ)P=P拒取式(PVQ)八飞=P析取三段论(PfQ)(QfR)=(PfR)条件三段论(P-Q)(Q-R)=(P-R)等价三段论(P-*Q)(R-S)(PAR)=QAS合取构造二难(PfQ)(RfS)(PVR)=QVS析取构造二难P-Q=(PVR)-(QVR)前后件附加P-Q=(PAR)一(QAR
18、)前后件附加1.3 联结词完备集【定义】设S是一个联结词集合，如果任何Zl(nl)元真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则称S是联结词完备集。联结词完备集可以有以下几种：(l)S=-1,V,(2) S=C,V,f(3) S3=h,(4) S1=HV)(5) SS=，f【定义】P与Q的与非式：设P、Q为两个命题，P与Q的否定式是一个复合命题，称作P与Q的与非式，记作PfQ,即PtQe(PAQ)。P与Q的或非式：设P、Q为两个命题，P与Q的否定式是一个复合命题，称作P与Q的或非式，记作PIQ,即PIQb(PVQ)o命S5与命题联结词命题与命题的表示复合命题与联结词命题与命题公-式命题公式的I命题公式等值演算L等值演算与蕖含式l联结词完备集
