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1、数学分析电子教案,泰州学院数理学院王能群,小学奥数平面几何五大定律,1.等积模型,2.鸟头定理,3.蝴蝶定理,4.相似模型,5.燕尾定理,一、等积模型,等底等高的两个三角形面积相等；,两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图,夹在一组平行线之间的等积变形，如右图,反之，如果，则可知直线AB平行于CD,等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；,三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；,两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比,二、鸟头定理,两个三角形中
2、有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在ABC中，D,E分别AB,AC是上的点如图(或D在BA的延长线上，E在AC上如图(2)则,图（1）,图（2）,三、蝴蝶定理,任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：,梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：S的对应份数为,蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系,或者,四、相似模型,相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比
3、；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形,(一)金字塔模型,(二)沙漏模型,所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：,五、燕尾定理,在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么,上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象
4、燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.,【例 1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2长方形EFGH的面积为多少,【解析】连接DE，DF，(如图）则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，所以长方形EFGH面积为33,【例 2】长方形的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？,【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如上右图：,可
5、得：,而,即,而,所以阴影部分的面积是：,【例 2】长方形的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？,【解析】特殊点法找的特殊点，把点H与点D重合，那么图形就可变成上右图：,这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有：,即,【例 3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO的面积为多少？,【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积,由于长方形ABCD的面积为158=120，所以三角形BOC
6、的面积为1204=30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为,又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为,所以四边形EFGO的面积为30-20=10,【例 4】如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是多少？,【解析】连接AF，BD，根据题意可知CF=5+7+15=27，DG=7+15+6；,所以，,于是：,可得 故三角形ADG的面积是40,可得 故三角形ADG的面积是40,【例 5】如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2，12平方厘米，
7、求ABC的面积,【解析】连接BE，,所以1份就2平方厘米，25份就是50平方厘米故三角形ABC的面积就是50平方厘米,所以,设 份，则 份，又 平方厘米,设 份，则 份，又 平方厘米,设 份，则 份，又 平方厘米,【例 6】如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比,【解析】连接AC，BD，根据共角定理,所以,又,同理可得,所以,所以,【例7】如图所示的四边形的面积等于多少？,【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施
8、变换：,因此，原来四边形的面积为1212=144.(也可以用勾股定理),把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形 OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.,【例 8】如图所示，ABC中，AB=3，BC=5，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积,【解析】如图，将OAB沿着点O顺时针旋转，到达OCF的位置,由于OB=OF，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5+3=8，所以它的面积为,由于，所以，而,所以，那么B、C、F三点在一条直线上,根据面积比例
9、模型，OBC的面积为,【例 9】以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABF，AC、BD交于O已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积,【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转 到ABF的位置,那么,所以梯形AFBE的面积为：,而AEB也是90度，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF=E=3，,又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，,那么,所以,所以,【例 10】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F则四边形DFEC的面积等于多少？,【解析】连接CF，根据燕尾定理，,如图所示,设 份，则
10、份，份 份,所以,【例 11】如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，CEF、OEF、ODF、BOE的面积依次是2、4、4和6求：求OCF的面积；求GCE的面积,【解析】根据题意可知，BCD的面积为2+4+4+6=16，那么BCO和CDO的面积都是162=8，所以OCF的面积为8-4=4；,所以,由于BCO的面积为8，BOE的面积为6，所以OCE的面积为8-6=2，根据蝴蝶定理，,那么,【例12】如图，长方形ABCD中，BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积,【解析】连接AE，FE(如右图）,又因为,因为BE:EC=2:3，DF:FC=
11、1:2，,所以,又因为，,所以,所以长方形ABCD的面积是72平方厘米,【例13】如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求阴影部分的面积,【解析】如右图所示，连接AC、EF设AF、CE的交点为N,在梯形AEFC中，由于EF：AC=1：2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为1：2：2：4：，所以三角形EFN的面积为，那么四边形的面积为,可知ACEF且AC=2EF那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1/4，所以三角形BEF 的面积为1/8，梯形的面积为3/8,而图中四个空白四边形的面积是相等的，所以图中阴影部分的面积,【例14】如图，已知
12、正方形ABCD的边长为4，F是边BC的中点，E是边CD上的点，且DE：EC=1：3，AF与BE相交于点G，求,【解析】连接AE，延长AF与DC的延长线交于点M，,又CE=3，所以EM=7，则GB：GE=AB：EM=4：7,因为F是边BC的中点，所以CM=AB=4,所以,【例 15】如图，ABCD为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm且MN=2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？,【解析】由ABCD，有，所以PC=2PM,所以,又，所以,所以,【例16】如图，在面积为1的三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:EA=3:2，则三角形ABE的面积为_，三角形AGE的面积为_，三角形GHI
13、的面积为_,【解析】连接AH、BI、CG,根据燕尾定理，,由于CE：AE=3：2，所以，故,所以，则，,那么，,同样分析可得,则,所以,同样分析可得,所以,【例17】如图，ABC中，G是AC的中点，D、E、F是边BC上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米？,【解析】连接CM，CN.,所以,根据燕尾定理，,所以,所以AN：NF=4：3，那么,再根据燕尾定理，,所以,根据题意，有，可得,【例 18】如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.,【解析】令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP。,设 份，则 份，份，份,求：,所以,所以,所以,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC面积的,在ABC中，根据燕尾定理，,【例 18】如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.,（2）求：在ABC中，根据燕尾定理，,所以,同理,所以,同理另外两个五边形面积是ABC面积的，,在ABC中，根据燕尾定理，,所以,所以,
