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1、小学数学教学,小学数学思想方法及其教学,主讲：唐荷意,小学数学教学,在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。,米山国藏 日本著名数学教育家,学者,小学数学教学,建议阅读书目,1.数学史教程 李文林 2.数学的美与理 张顺燕 3.数学文化 张庭楚 4.古今数学思想 克莱因 5.数学的精神、思想和方法 米山国藏 6.数学与猜想 波利亚,小学数学教学,内容提要,一、问题的提出二、什么是数学思想方法三、小学数学中蕴含的数学思想
2、方法与教学,小学数学教学,一、问题的提出,数学新课标的总体目标 通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。,小学数学教学,教学大纲和课程标准对渗透数学思想方法的要求,1978年2月，全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)在“教学内容的确定”中首次提出：“适当渗
3、透一些现代数学的思想”，并指出，“在小学，通过直观，使学生尽早接触集合、函数、统计等一些现代数学的思想。1986年12月，全日制小学数学教学大纲在“教学内容的确定”中明确要求：“结合有关内容，适当渗透一些数学思想和方法”,小学数学教学,1992年6月颁发的九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)，要求“结合有关知识的教学，适当渗透集合、函数等数学思想和方法，以加深对基础知识的理解”。新课标颁布之前，大纲要求在加强“双基”的教学中适当渗透数学思想方法，主要是渗透集合、函数和统计的思想方法，其落脚点是为了有利于学生加深对数学基础知识的理解。,小学数学教学,2001年7月，标准(实验稿)在课程“总
4、体目标”中要求通过义务教育阶段的数学学习，学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”，第一次将“基本的数学思想方法”作为学生数学学习的目标之一。在“课程实施建议”中多次提出，要根据小学生已有经验、心理发展规律以及所学内容的特点，采用逐步渗透、螺旋上升的方式，引导学生感悟数学思想方法。,小学数学教学,对师范生的调查,绝大多数师范生对数学思想方法只有非常浅显的了解，70%的调查对象不知道平行四边形面积公式推导用的是转化思想！只有13.3%的调查对象能写出四种以上数学思想方法的名称；近90%的师范生在教学设计中
5、即使考虑到数学思想方法的教学也不知如何实施、只是偶尔考虑或不考虑。,小学数学教学,北京市东城区17名六年级数学教师的调查,调查目的：了解小学数学教师对函数的理解、对函数思想的认识以及对函数思想在课堂教学中渗透的情况。结果显示：94.1%的教师不能用准确的语言描述函数的定义；教师对于函数的本质有一定的认识，部分教师还存在模棱两可的认识；94%的教师认为能写出表达式的才叫函数，而图、表、文字等呈现方式他们认为不是函数。,小学数学教学,国培小学数学（2013）调查,小学数学教学,一般认为，数学方法是指在解决数学问题和数学地解决问题的过程中所采用的途径、程序和手段。数学思想是指数量关系和空间形式反映在
6、人的意识中经过思维活动而产生的结果，是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。,二、数学思想方法定义,小学数学教学,两者的区别和联系,“数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，而数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用”；“数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法进一步的概括与升华”。,小学数学教学,数学思想方法的三个层次,第一层次：抽象、推理、模型。其中抽象是最核心的。”（相当于数学的思维方式。史宁中认为这是数学发展所依赖的本质思想）第二层次：数学不同内容所共有的思想，如数形结合思想
7、、化归思想、分类思想、方程思想、函数思想等。第三层次：具体某内容所蕴含的思想或方法，如图形变换思想、数据分析思想等。,小学数学教学,教材蕴涵数学思想方法的实践,数学教学内容的两条主线 明线：基础知识和基本技能暗线：数学思想方法,小学数学教学,小学数学几种主要的数学数学方法之一：抽象,抽象的含义 抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律。,小学数学教学,举例,1.自然数的抽象。2.算式2+3=5的抽象3.几何图形的抽象过程：实物模型空间直观图,小学数学教学,欧拉用抽象的方法简化“哥尼斯堡七桥问题”,小学数学教
8、学,小学数学抽象举例,2013年9月,小学数学教学,小学数学教学,数学抽象的特征,1.数学抽象具有无物质性。2.数学抽象具有层次性。数学抽象是经历了一系列阶段而产生的。数学的抽象所能达到的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。,小学数学教学,3.数学本身几乎完全处于抽象概念和它们之间的相互关系之中。4.由于高度的抽象性，使数学成为应用非常广泛的学科。5.数学抽象不仅有概念抽象，而且还有方法抽象。（如用行列式解方程）,小学数学教学,小学教材中几种主要的思想方法之二：符号思想,1.符号化思想的概念 用数学符号表示数、数量关系、变化规律和空间形式，并使用符号进行一般性的运算和推理的一种思想。数学符
9、号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展。,小学数学教学,一古典问题：九章算术盈不足第1 问“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何。答曰：七人，物价五十三。盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者，通之。盈、不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数。其一术曰：并盈、不足为实。以所出率以少减多，余为法。实如法得一人。以
10、所出率乘之，减盈、增不足即物价。,盈不足术,小学数学教学,置所出率：a1 a2 盈、不足各居其下：b1 b2 令维乘所出率：a1b2 a2b1 并以为实：a1b2+a2b1 并盈、不足为法：b1+b2 实如法而一：(a1b2+a2b1)/(b1+b2)置所出率，以少减多：a1-a2 余，以约法、实，实为物价：(a1b2+a2b1)/(a1-a2)法为人数：(b1+b2)/(a1-a2)并盈、不足为实：b1+b2 以所出率以少减多，余为法：a1-a2 实如法得一人：(b1+b2)/(a1-a2)以所出率乘之：(b1+b2)/(a1-a2)a1(或a2)减盈、增不足即物价：(b1+b2)/(a1-
11、a2)a1-b1(b1+b2)/(a1-a2)a2+b2,小学数学教学,小学数学中的符号化思想,小学数学教学,对符号化思想的理解,第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。,小学数学教学,第三，会进行符号间的转换。例如时间路程速度之间的关系，既可以用算式，也可以列表，也可以画图。第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。,小
12、学数学教学,数学符号思想的教学策略,1.在具体情境中，体会数学符号的作用。2.在解决问题中，经历符号产生、规范、统一的过程。如二分之一的表示；乘法的符号；数对的表示。3.在用字母表示数中，提升学生对符号的认识。4.在鼓励创新中，实现学生思维上的飞跃。,小学数学教学,小学教材中几种主要的思想方法之三：模型思想,什么是模型思想？模型思想是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。（例:水管进出水问题）数学模型的主要表现形式是数学符号、表达式和图表，因此它与符号化思想
13、有很多相通之处。,小学数学教学,符号化思想更注重数学抽象和符号表达，模型思想更注重数学的应用。可以简单的理解为：数学模型就是用数学的方法解决实际问题。,小学数学教学,数学课程标准对模型思想的要求,课程内容部分明确提出：“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。,小学数学教学,教材编写建议中提出了“教材应当
14、根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现问题情境建立模型求解验证的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验；要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识”。,小学数学教学,小学数学中的模型思想,小学数学教学,模型思想的教学,小学生学习数学模型大概有两种情况：第一种是基本模型的学习，即学习教材中以例题为代表的新知识，这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程；第二种是利用基本模型去解决各种问题，即利用学习的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及各种课外问题。,小学数学教学,数学建模是一个
15、比较复杂和富有挑战性的过程，这个过程大致有以下几个步骤：(1)理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统。(2)把复杂的情境经过分析和简化，确定必要的数据。(3)建立模型，可以是数量关系式，也可以是图表形式。(4)解答问题。,小学数学教学,实例 古 题枯木周四尺、高九尺；葛藤经三周而达其顶；藤长几何也?,小学数学教学,要解决这道古题，让我们先从一道现代简单问题入手，寻找思路，探索求解方法：,一只圆柱形油罐的底圆周为长4米，高3米；一只蛐蛐沿罐壁螺旋爬行一周到达罐的顶部，求蛐蛐的爬行距离。,小学数学教学,C=4m,h=3m,4m,3m,L=42+32 1/2=5(m),小学数学教学
16、,高9尺,周4尺,高3尺,L=3*42+32 1/2=15,古题,周4尺,小学数学教学,西方小学数学建模案例,活动内容:澳洲人割草问题。活动对象:小学5年级学生，全班30人，先前没有任何建模经验。活动方法:小组合作。活动时间:两次，每次80分钟。,小学数学教学,背景信息:James Sullivan的绿指花园公司即将开业，为消费者提供割草服务。先前一个当地景观美化服务公司已经关闭，James想雇佣该公司4位前任雇员并接受这些雇员已拥有的客户。雇员的职责是割草以及销售一些肥料、除草剂和杀虫喷雾剂等产品。James有公司这些前任雇员在去年12月，今年1月和2月的工作信息，包括每位雇员每月的工作时间
17、、割草量、销售其它产品的销售额以及每月驾驶割草机的公里数。草坪有大、中、小三种。大草坪比起中草坪和小草坪来说，显然需做更多工作;然而有些草坪虽然很小，但对割草人来说工作时需要绕过许多障碍，要割很多不同的边，以及做一些清理焊接等工作，这些都决定了其工作量的大小。,小学数学教学,问题:从表中已有业绩看，James应该选择哪4位雇员?请你利用这些信息帮助他做一个决定，并给他写信解释你的理由，使他以后每年夏天都用这个方法来雇佣新雇员。,2013年9月,小学数学教学,小学数学教学,阶段1:关注子信息，如得分最高、具有专长阶段2：运用数学运算，计算各个量的平均值或比率。阶段3：确定趋势和关系，如*割草量多
18、而工作时间少。案例显示，当一个具有现实生活的情境呈现在10岁孩子面前时，孩子们是如何将实际问题转化为数学问题，然后建立和发展数学模型，从而成功地进行数学建模活动的。,小学数学教学,小学教材中几种主要的思想方法之四：推理思想,推理思想的概念：推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。,小学数学教学,归纳推理,归纳是通过特例的分析引出普遍的结论。在研究一般性问题时，先研究几个简单、个别的、特殊的情况，从中概括出一般的规律和性质，这种由部分到整体、由特殊到
19、一般的推理被称为归纳。（如:加法结合律、整数除以几分之一）,小学数学教学,小学数学中的归纳推理,小学数学教学,分数除法运算法则的归纳法教学,有鹅4只，是鸭的三分之一，问鸭几只？3只鸭子，1只鹅 1=3 6只鸭子，2只鹅 2=6 9只鸭子，3只鹅 3=9 12只鸭子，4只鹅 4=12,小学数学教学,演绎推理,演绎与归纳相反，是从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论。在研究个别问题时，以一般性的逻辑假设为基础，推出特定结论，这种从一般到特殊的推理被称为演绎。（如：由“三角形的内角和是180度”推出直角三角形两个锐角的和是90度，乘法分配律的应用）,小学数学教学,归纳与演绎的关系：归纳思想需
20、要通过演绎来证明是不是对的，归纳思想可以用于发现新的结果。例如：十位相同，个位相加等于十的两位数相乘的计算技巧；小数的性质；谷神星的发现,小学数学教学,人们通过计算发现,高斯预测在2.8处必有一颗行星 归纳推理与演绎推理相结合，否则可能会出现错误的结论，如费尔马关于质数的判断,小学数学教学,类比推理,类比是由特殊到特殊的推理，具有假设、猜想的成分。同归纳一样，类比是常用的一种合情推理。类比是立足在已有知识的基础上，通过两个(或两类)及以上对象之间某些相同或相似的性质，由已经获得的知识引出新的猜测，推断它们在其他性质上的相同或相似。,小学数学教学,小学数学中的类比推理,小学数学教学,1,2,3,
21、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,案例：圆面积公式的推导,一、将圆分成若干等分。,小学数学教学,二、用等分后的小块组成不同的形状,近似平行四边形,近似三角形,近似梯形,小学数学教学,圆柱体体积的计算,小学数学教学,小学数学教学,小学数学教学,1、拼成的长方体的体积与原来的 圆柱体有什么关系？,2、它的底面积变了吗？,3、它的高变了吗？,讨论题,长方体的体积=底面积 高,圆柱体的体积,底面积,高,=,小学数学教学,就演绎推理和合情推理的关系及教学建议,课程标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注
22、重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”。,小学数学教学,在小学数学教学中要注意把握以下几点,第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。低年级：找规律、总结计算法则等 高年级：面积、体积公式的推导等 推理思想盈从一年级就要开始渗透和应用，是一个长期的培养过程。,小学数学教学,第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。合情推
23、理：多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论。演绎推理：用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结论。第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合，教学过程中要给学生提供各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。,小学数学教学,第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。推理能力的培养要结合具体知识的学习，同时要考虑学生的认知水平和接受能力。综合现行课程标准及其修改稿关于“数学思考”分阶段的目标要求，推理能力在小学阶段的要求可参考下表。,小学数学教学,小学教材中几种主要的思想方法之五：分类思想,分类讨论思想的概念 人们面对比较复杂的问题，有
24、时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。分类是以比较为基础，按照数学研究对象本质属性的相同点和差异，将数学对象分为不同的种类。（如两条直线的关系分类，四边形分类、数的分类）,小学数学教学,课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和
25、构建良好的认知结构。,小学数学教学,小学数学教学,小学数学中的分类思想,小学数学教学,分类规则和解题步骤,（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。,小学数学教学,分类思想的教学,第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想，一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的认识和运算等。同时注意渗透集合的
26、思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作为一个整体，就可以看作一个集合。,小学数学教学,第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想解决。,小学数学教学,第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。现实生活中的数据丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据进行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地做出推断。第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。如对商品和物品的分类是为了便于管理和选购，对数学知识和方法
27、进行分类，是为了更深入地研究问题、理解知识、优化解决问题的方法。,小学数学教学,第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说，有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不一定成立；而这种特殊性在小学数学里往往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。如在小学里经常有争议的判断题：如果5a2b，那么a：b2：5；有人认为是对的，有人认为是错的。,小学数学教学,案例1：数线段、角、长方形的个数。案例2：任意给出4个两两不等的整数，请说明：其中必有两个数的差是3的倍数。,小学数学教学,小学教材中几种主要的思想方法之六：化归思想,数学知识是一个整体，它的各部分之间相互联
28、系，有时也可以相互转化。化归思想：人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。,小学数学教学,化归思想在小学数学中的应用,小学数学教学,化归所遵循的原则,（1）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。（2）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。（3）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。,小学数学教学,解决问题中的化归策略,（1）化抽象问题为直观问题。例如，用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系（2）化繁为简的策略 案例1：把1
29、86拆分成两个自然数的和，怎么拆分才能使拆分的两个自然数乘积最大？187呢？案例2：你能快速口算85=，9595=，105105=吗,小学数学教学,（3）化实际问题为特殊的数学问题 案例3：李阿姨买了2千克苹果和3千克香蕉用了11元，王阿姨买了同样价格的1千克苹果和2千克香蕉，用了6.5元。每千克苹果和香蕉各多少钱？（4）化未知问题为已知问题。（5）化一般问题为特殊问题。,小学数学教学,小学数学教学,小学教材中几种主要的思想方法之七：函数思想,函数思想：设集合、是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是的函数，记作yf
30、()。函数思想体现了运动变化的、普遍联系的观点。人们运用函数思想，一般更加关注变量之间的对应关系，通过构建函数模型并研究函数的一些性质来解决数学问题和实际问题。,小学数学教学,函数思想的意义,函数的产生是常量数学到变量数学的飞跃，它为研究运动变化的数量之间的依存、对应关系和构建模型带来了方便，从而能够解决比较复杂的问题。,小学数学教学,小学数学中的函数思想,小学数学教学,其它数学思想方法,集合思想、统计思想、概率思想、几何变换思想、数形结合思想、极限思想、假设法、反证法、分析与综合法等等。,小学数学教学,数学思想方法的教学原则,化隐为显原则：把隐藏在知识背后的方法显示出来，使之明朗化。循序渐进
31、原则：从模糊到清晰，从表象联系到本质联系，不可能一步到位，需从低年级到高年级反复理解和运用。学生参与原则,小学数学教学,渗透数学思想方法的教学策略,将数学思想方法的学习纳入教学目标，并在教案中设计好数学思想方法的教学内容和教学过程。凸显知识的形成过程，让学生感悟数学思想方法 反思学习过程，使数学思想方法明晰化 注重知识的整理与复习，总结数学思想方法,小学数学教学,学生理解和掌握数学思想方法的过程,潜意识阶段：朦朦胧胧，若有所悟。如运用三角形、平行四边形面积公式求出梯形面积后，思维活动就停止了，并未深入思考过程中蕴含的思想方法。明朗化阶段：用同一种思想方法解决问题的实践多了，隐藏着的思想方法就会逐渐引起注意和思索。如10条直线相交的交点个数求法。深刻理解阶段：有意识地、自觉地运用数学思想方法解决问题。,小学数学教学,案例：“圆周率”一课蕴含哪些数学思想方法？,猜想转化（化曲为直）归纳推理演绎推理极限思想,小学数学教学,小学数学教学,小学数学教学,2013年9月,小学数学教学,
