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1、小学生数学思维发展,喻平南京师范大学,一、小学生思维发展的相关理论（一）皮亚杰的思维发展阶段论1思维发展的基本假设（1）认知发展的过程是一个内在结构连续的组织和再组织过程，过程的进行是连续和经常的，但它造成的结果是不连续的，因此发展具有阶段性。（2）发展阶段是按照固定的连续性顺序，一个接一个出现，它出现的时间可因个人和社会的变化而不同，但发展的先后顺序不变。,（3）在相继的发展阶段中有一个不连续的成分，各水平不同的发展阶段的结构一旦确立就有它的特点，存在着和其他阶段不同的质的差异。（4）发展的每一新水平是许多因素的一个新融合，组成一个新结构，在此之前，各因素还没有构成系统的联系。2儿童发展阶段
2、理论（1）感知运动阶段（02岁）儿童主要是通过感觉动作图式与外界取得平衡处理主、客体关系。,（2）前思维运算阶段（27岁）第一，相对具体性。借助于表象进行思维活动，还不能进行运算思维。第二，不可逆性。表现为关系是单向的、不可逆的，不能进行可逆运算，还没有守恒结构。第三。自我中心性。儿童以自我的经验为中心，只参考自己事物。第四，刻板性。一是在思考眼前问题时，其注意力还不能转移，还不善于分配；二是的概括事物的性质时，还缺乏等级观念。,34岁儿童只注意到了玻璃杯的高度，认为细长的杯子中水多。56岁儿童似乎意识到了必须同时考虑杯子的高度和粗细，但无法进行比较。处于具体运算阶段的8岁儿童认为，水既没有增
3、加也没有减少，水量是不变的（守恒性）。数量守恒。5岁儿童认为第一个图的数量相等，第二图的数量不相等。67岁儿童能够正确辨认。,实验者把玩具娃娃放到桌子的不同位置，问儿童：娃娃看到了什么？结果发现：45岁的儿童选择的图片与他们个人的观察角度一样，而并非玩具娃娃所看到的。79岁的儿童随着以，观察位置的不同得出不同的观察结果，但是不能说出三座山之间的关系。910岁的儿童观察三座山的结果是不一样的。皮亚杰得到儿童的判断是以自我为中心的。,（3）具体思维运算阶段（711岁）儿童出现了可逆性和守恒性，因而可以进行群集运算：组合性：AB，BCAC可逆性：ABCCAB结合性：（AB）CA（BC）同一性：任何运
4、算都有一个逆运算与之组合，即 AB0重复性：质的重复，性质不变,（4）形式运算思维阶段（12岁以后）具体运算思维经过不断同化、顺应、平衡，逐步形成形式运算结构，即进行命题运算思维，与成人思维接近，达到成熟的思维形式。所谓命题运算，就是可以在头脑中将形式和内容分开，可以离开具体的事物，根据假设来进行逻辑推理的思维。,（二）朱智贤、林崇德的儿童发展理论他们通过研究得到一些结论：（1）整个小学阶段，小学生逐步从具体形象思维过渡到以抽象思维为主的形式，但仍然带有很大的具体性。（2）小学生的思维由具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡，是思维发展中的飞跃或质变。在这个过渡中，存在一个转折时期（四年级，约101
5、1岁），这个转折时期就是小学生思维发展的关系年龄。,（3）小学生逐步具备了人类思维的完整结构，但这个思维结构还有待于进一步完善和发展。逐步具备明确的思维目的性，表现出完整的思维过程，有比较完善的思维材料和结果，思维品质的发展使个体表现出明显的差异性，思维的监控和自我调节能力也在日益加强。（4）小学生从具体形象思维向抽象逻辑思维的发展存在着不平衡性。在整个小学阶段，儿童的抽象思维水平在不断提高，具体形象成分和抽象成分的关系在不断发生变化，这是它的发展的一般趋势。但是具体到不同的思维对象、不同学科、不同教材的时候，这个一般的发展趋势又会表现出不平衡性。,二、小学生数学概念的发展,（一）一些研究刘范
6、等（1981）对我国10个地区959名712岁儿童数学概念的发展情况作了系统研究。选择了认数、数序和系列、数的组成、运算和应用等四个方面作为研究的材料，与学校年级大体相对应地分为6个年龄组，按照统一的方案进行测验。结果显示：,（1）78岁左右阶段，儿童初步形成三位以内整数概念系统。对于三、四位数范围内的“相邻数”、“认写”、“比大小”、“图与数”等项目已能基本掌握，但对“完成系列”和复杂的须借助推理的“数的组成”及“应用”，还有一定的困难，空间观念的发展尚很不完善，一般只能从二维空间去认知图形。数群观念已基本建立，但部分儿童在很大程度上还要依靠逐个点数来进行计算，只能运用数概念解答较简单的应用
7、题。,（2）911岁左右的阶段，儿童关于整数、小数概念系统正处于巩固和形成的过程中，基本上能掌握万以上整数，小数和分数概念正在形成或开始形成中。从9岁开始，已部分掌握了小数概念。这一阶段的儿童对各种数概念系统正在逐步形成，逐步从二维空间认识图形向三维空间认识图形过渡。（3）1112岁左右的阶段，儿童整数、小数、分数的概念系统逐步趋向统一。除个别项目外，一般都能较好地掌握，分数概念也已基本掌握。已逐步形成三维空间观念，空间想象力逐步增强。,林崇德（1981）对小学生数概念及运算能力发展作了研究。首先，确定小学儿童数概括能力为五个等级：（1）直观概括水平：指标是依靠实物、教具或配合手指头来掌握10
8、以内的数概念；（2）具体形象概括的运算水平：掌握一定整数的实际意义、数的顺序和数的组成。（3）形象抽象概括的运算水平：掌握了整数、小数和分数的实际意义、大小、顺序和组成，能够从大量几何图形的集合中概括出几何概念，并掌握一些几何体的计算公式和定义。,（4）初步代数的概括运算水平：能用字母的抽象代替数字的抽象，例如能初步列方程解应用题开始掌握算术范围内的交集与并集思想。（5）代数命题概括运算：能够根据假设进行概括。研究结果表明：（1）小学儿童的数概括发展水平，既表现出比较显著的年龄特征，又存在着个体差异。78岁儿童基本上属于具体形象概括；810岁儿童从具体形象概括向形象抽象概括过渡，且大部分儿童在
9、三年级就完成了这个过渡；大多数1012岁儿童进入初步本质抽象的概括水平。,（2）1011岁儿童在数概括能力发展中有显著的变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式的一个转折点。刘范等（1983）对815岁儿童关于交集概念的发展进行了研究，结果表明：小学儿童已具有掌握简单交集概念。吕静等（1985）研究了儿童面积等分概念的发展。研究表明：,（1）7岁以前，基本上没有面积等分概念，8岁后才出现面积等分概念的萌芽，910岁介于萌芽和过渡阶段。11岁才达到基本掌握。（2）儿童面积等分概念的认知水平的发展是形与数的矛盾统一过程。（3）各年龄儿童认知水平的发展是由
10、直接感知占主导地位逐步向抽象推理的间接认知占主导地位的转化过程。但不论哪种认知成分在某阶段占主导地位时，常有其它许多种认知成分同时起着作用。（4）同种认知成分在不同年龄阶段所起的作用，有着不同质的变化。（5）启发教育在面积等分概念中，有着一定作用，在7岁后的有效性才显著增加。,沈家鲜等(1984)研究了517岁儿童容积概念的发展，他们选取不同地区的720名被试进行实验。结果表明：（1）儿童对容积变化的认知随年龄而增长，儿童的思维水平既与儿童的年龄大小有关，也与儿童知识经验的多少以及课题的难易程度等因素有关。（2）从认知水平看,可依次分为任意性回答、感知为主水平、表象为主的水平、概念推理为主水平
11、四种。在这些思维水平中包含着各种认识成分的交互作用。（3）儿童在对容积变化的认知错误是混淆面积与体积概念，分不清楚容积体积与高度，分不清楚容积变化的数量与空间的相应位置。,张增杰等（1985）对515岁儿童掌握概率概念的认知发展作了研究，得到的结果是：（1）儿童的概率概念随年龄而发展，10岁左右起，简单概率概念发展加速,这也许是易于传授概率知识的时期。（2）儿童概率概念发展的先后受课题难易的影响。12岁以上儿童有90%能掌握简单的1/2概率概念，13岁开始有75%左右能掌握1/3概率概念，而对于1/6、2/3概率概念，15岁儿童能掌握的不到25%。（3）粗略地说，对概率的认识可以按次分为三步，
12、认识事件的可能性和随机分布，认识可能性的相对大小，以数量表示概率。,（二）教育启示,（1）911岁，注重发展学生的小数、分数概念，培养学生的空间能力。（2）810岁儿童从具体形象概括向形象抽象概括过渡，因此，要重点发展学生的形象抽象能力。（3）1011岁儿童在数概括能力发展中有显著的变化，这是小学儿童掌握数概念中从具体形象概括为主要形式过渡到以抽象逻辑概括为主要形式的一个转折点。因此要培养学生的抽象概括能力。（4）815岁儿童要培养交集概念。（5）1011岁要重点发展学生空间能力的关键期。,三、小学数学思维品质的发展,（一）思维的品质的涵义思维的敏捷性：思维活动的速度。思维的灵活性：指思维活动
13、的灵活程度。思维的深刻性：指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的广度、深度和难度。思维的批判性：思维活动中独立分析和批判的程度。思维的独创性：指思维的创造性。,（二）小学生思维品质的研究1测量思维品质的客观指标（1）测量思维敏捷性的指标 以速度和正确度为指标，求出时间与正确率。出现4种情形：正确迅速正确不迅速 不正确迅速不正确不迅速（2）测量思维灵活性的指标 以一题多解的方法数量、一题多变的变化数量为客观指标。,（3）测量思维深刻性的指标 主要包括概括水平和推理水平。例如，概括能力表现在对数的实际意义的认识，对数的顺序和大小的理解，进行数的分解和组合的能力。推理能力主要表现为简单的归纳
14、能力和演绎能力。（4）测量思维独创性的指标 以自编应用题的数量和难度为指标。实物编题形象编题语词或数字编题模仿编题半独立编题独立编题,2研究案例研究1：小学生思维敏捷性发展研究（林崇德）研究目的：探明小学生思维敏捷性发展水平。研究方法：测量。研究过程：第一步，使用二年级至五年级学生都学习过的计算题，测量速算的时间，并统计正确率；第二步，使用各年级学生本学期所学知识范围内的习题，在10分钟内进行速算测定。研究结果：,表1 相同试题测定各年级被试正确迅速运算的成绩,表2 各年级被试在10分钟内完成本年级试题的情况,研究2：小学生思维独创性的发展研究独创性指标：独立性、发散性、新颖性。采用自编题目的
15、方法检测。1.实物演示编题、根据图画编题、根据数字材料编题。然后分析不同年级学生自编应用题的水平，从而观察不同年级学生的水平差异。,图1 各年级学生自编应用题的平均数,（1）小学生自编应用题的能力落后于解答应用题的能力。（2）实物编题与图画编题的数量之间没有显著性差异，图画编题与数字编题之间存在显著性差异。（3）四年级是自编应用题，即思维独创性发展的一个转折点。（4）各年级初试的自编应用题中除表现出一般年龄特征外，还表现出明显的个别差异。,2.先模仿，经过半独立性过渡，最后发展到独创编拟应用题。,表3 各年级被试编拟各类不同独立程度应用题水平,（1）小学生自编应用题，一般从模仿书本命例题开始，
16、有一个半独立性的过渡，逐步地发展为独立编题。（2）三年级学生是从模仿编题向半独立编题能力的一个转折点；四年级是从半独立编题向独立编题能力的一个转折点。（3）各年级学生在独立编题中，既有独创性发展较稳定的年龄特征，又有内外因素而造成年龄特征的可变性，特别是个别差异。,研究3：小学生思维独创性培养实验研究1.实验因子（1）加强培养学生独立思考的自觉性，把独立思考的要求作为低年级学生的学习“常规”加以训练。（2）提倡“新颖性”，在解题中运用的方法越多越好，越独特越好，让学生支挖掘解题的各种新方法。（3）讲授编题的方法。根据实物演示或操作编题,根据调查访问编题根据学生的生活实践编题根据图画编题根据图解
17、编题根据算术式题编题仿照课本的应用题编题改编应用题根据应用题的问题编题补充问题缺少的条件,2.实施过程（1）对照实验措施，检查实验班教师的教学内容、课堂组织。（2）记录学生的反应。练习的正确率和速度解题思路自述（3）进一步控制实验因素。3.实验结果,表4 两种不同被试自编各类应用题平均数的差异,表5 两种不同被试编拟应用题时独立程度的差异,（三）教育启示,（1）小学生思维品质的发展关键期是34年级，这一时期一定要注意培养学生思维品质。（2）34年级是小学生归纳能力与与演绎能力发展的关键期，这一阶段必须加强这两种能力的培养。（3）思维品质、数学能力是可以培养的，教师应当研究如何培养学生思维品质和
18、数学能力的教学策略。,四、一个新的课程改革走向发展学生的学科核心素养,1.课程改革的回顾树立了“为了每个学生的发展、着眼学生的终身发展”的课程理念；建立了注重基础性、时代性、选择性的课程设置原则；,十年课程改革的贡献与成就,形成了自主、合作、探究等多样的教学方式；实现了多元化的课程体系建构；综合素质评价、学业水平考试等考试招生评价制度的改革；建立了以校为本，注重教研，提升教师专业发展的培训体系。,配套性：政策、制度、经费、条件 适切性：地区、学校差异有效性：教学方式转变、课程管理与监督 科学性：模块的划定、难度、容量操作性：课程标准、综合素质评价、综合实 践活动、通用技术,主要问题：,2.课程
19、标准修订的依据,统筹小学、初中、高中、本专科、研究生等学段（包括职业院校）。进一步明确各学段各自教育功能定位，理顺各学段的育人目标，使其依次递进、有序过渡。统筹各学科。充分发挥人文学科的独特育人优势，进一步提升数学、科学、技术等课程的育人价值。加强学科间的相互配合，发挥综合育人功能，不断提高学生综合运用知识解决实际问题的能力。,统筹课标、教材、教学、评价、考试等环节。全面发挥课程标准的统领作用，协同推进教材编写、教学实施、评价方式、考试命题等各环节的改革，使其有效配合，相互促进。统筹一线教师、管理干部、教研人员、专家学者、社会人士等力量。围绕育人目标，协调各支力量，形成育人合力。统筹课堂、校园
20、、社团、家庭、社会等阵地。,任务1：研究制订学生发展核心素养体系,根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心价值观的有关内容具体化、细化，深入回答“培养什么人、怎样培养人”的问题。研究提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀；更加注重自主发展、合作参与、创新实践。,任务2：研究制订学业质量标准,研究制订中小学各学科学业质量标准。根据核心素养体系，明确学生完成不同学段、不同年级、不同学科学习内容后应该达到的程度要求，指导教师准确把握教学的深度和广度，使考试评价更加
21、准确反映人才培养要求。各级各类学校要从实际情况和学生特点出发，把核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中。,任务3：修订课程方案和课程标准,依据学生发展核心素养体系，进一步明确各学段、各学科具体的育人目标和任务，完善高校和中小学课程教学有关标准。指导思想：努力构建坚持立德树人方向、遵循教育规律、富有时代精神、具有中国特色、体现国际发展趋势的普通高中课程体系。修订原则：以人为本、深化改革、科学设计、综合统筹,3.数学学科核心素养研究目前，数学核心素养已经提出6个基本要素：（1）数学抽象内涵：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系
22、中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。,（2）逻辑推理内涵：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理。（3）数学建模内涵：数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程。具体表现为：在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果。,（4）数学运
23、算内涵：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。（5）直观想象内涵直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题。主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。,（6）数据分析内涵：数据分析是指从数据中获得有用信息，形成知识的过程。主要包括：收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据蕴含的结论。4.数学核心素养的研究工作,（1）在前面框架基础上，以儿童心理发展理论为依据，并结合对中小
24、学教师的调查，确定各个学段学科核心素养基本的成分，完成各个学段学科核心素养结构体系的建构。（2）参考国外各种评价理论并结合我国学生的具体情况，对各个学段学科核心素养进行水平划分，建立一套操作性强的评价指标体系。（3）通过对中小学教师的调查，对中小学生的实际测评，对建构的评价体系进行检验、修订和完善。（4）各种学科核心素养与学生心理发展阶段的适应性研究。找到不同年龄阶段儿童发展学科核心素养的适应期和关键期。,（5）知识学习与学科核心素养发展的关系研究。找出两者之间的内在联系，探讨如何通过知识学习促进学科核心素养发展。（6）基于发展学科核心素养的学习方式研究。（7）教师教学认识信念的转变。建立与学科核心素养相适配的教学认识信念体系。（8）教学模式变革。建立与学生学科核心素养发展相适配的教学模式与教学策略。（9）教学评价实施。检验已建立的学科核心素养的评价体系、方式、工具和手段的有效性。,谢谢各位老师,
