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求曲线上过点 的切线方程，这里,设曲线用参数方程表示为,由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点 和点 的割线方程,在上式各端的分母都除以,由于切线是割线的极限位置，在上式中令 取极限，就得到曲线在点 的切线方程：,由此可见，曲线在点 的切线的一组方向数是,曲线在点 的法平面就是过 点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是,如果曲线的方程表示为,可以把它写成如下的以 为参数的参数方程,于是可得曲线在点 的切线方程和法平面方程如下：,一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：,设，设上述方程组在点 确定了一对函数,由这两个方程可解出,这时容易把它化成刚才讨论过的情形：,从而可得曲线在点 的切线方程：,和法平面方程,解：,在（1，1，1）点对应参数为 t=1,切线方程：,例1 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。,例2、求曲线 在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。,例3 求两柱面,的交线在点：,处的切线方程。,解:,在方程组,中分别对 求导数，得,所以切线方程为：,即,此直线可看作是 平面与平面 的交线。,从而在点 有：,
