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1、第三章 投影法基本知识 及点、直线、和平面的投影,3-1 投影法基本知识,1.投影法的建立,投射线,物体,投影面,投影图,投射线通过空间形体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到其投影图的方法 投影法。,投射中心,2.投影法的分类,1）中心投影法,2）平行投影法,1)中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。,投 影 特 性,物体位置改变，投影大小也改变。,2)平行投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。,工程图样多数采用正投影法绘制。,斜投影法,正投影法,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,1.点在一个投影
2、面上的投影是唯一确定的点。,3.正投影的基本特征,2.直线在一个投影面上的投影一般仍为直线。,直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos,3.若点在直线上,则点的投影必在该直线的投影上,且点的投影将该线段的投影分割成与空间线段相同的比例。,即：AC:CB=ac:cb,A,B,a,b,A,B,C,a,b,c,K,d,k,E,F,e,f,D,4.相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是其投影的交点。,5.两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投影后保持不变。,6.平面的投影特性,实形性,
3、类似性,积聚性,1）平行投影法,多面正投影,轴测投影,4.工程中常用的几种投影法,2）透视投影（中心投影法）,3）标高投影,5.物体的三面正投影 三视图,1、物体的三面正投影,物体三视图的形成,三个视图的尺寸关系,三个视图的方位关系,3-2 点、直线、平面的投影,点、直线和平面是构成物体的最基本的几何要素，要得到物体的投影实质上就是作出点、直线和平面的投影。,1.投影面,正面投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧面投影面（简称侧面或W面）,2.投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,3-2-1 点的三面投影
4、,3.空间点A在三个投影面上的投影,注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不动,4.投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,5.点的投影规律:,aaOX轴,aax=,aax=,aay=,a,y,Y,Z,az,a,X,Y,ay,O,a,ax,ay,a,aaOZ轴,=y,=Aa（A到V面的距离）,aaz,=x,=Aa（A到W面的距离）,aay,=z,=Aa（A到H面的距离）,aaz,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取
5、aaz=aax,6.两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：,x 坐标大的在左,y 坐标大的在前,z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,b,a,a,a,b,b,X,Y,Y,Z,o,(),a c,c,7.重影点,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,a,a,c,被挡住的投影加(),A、C为H面的重影点,3-2-2 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,1.直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于
6、面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。,1）投影面平行线,X,Z,b,a,a,a,b,b,O,Y,Y,（1）水平线,实长,在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面 倾角的实大。,另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投 影面之间的距离。,投影特性：,判断下列直线是什么位置的直线？,侧平线,正平线,与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:,实长,实长,直线与投影面夹角的表示法：,2)投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外
7、两个投影反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。,在其垂直的投影面上，投影有积聚性。,投影特性:,3）一般位置直线,三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。,投影特性,2.直线与点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。,点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：,AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb,定比定理,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用定比定理,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：（应用第三投影）,解法二
8、：（应用定比定理）,a,b,3.两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。,1）两直线平行,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,2）两直线相交,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。,交点是两直线的共有点,a,c,V,X,b,H,D,a,c,d,k,C,A,k,K,d,b,O,B,c,d,k,k,d,例1：过C点作水平线
9、CD与AB相交。,例2：判断直线AB、CD的相对位置。,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合空间一个点的投影特性。,判断方法？,应用定比定理,利用侧面投影,两直线交叉,为什么？,两直线相交吗？,不相交！,交点不符合一个点的投影规律！,1(2),投影特性：,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,3-3 平面的投影,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,1.平面的表示法,用迹线表示,P,PV,PH,PW,Pz,Px,Py,平面与投影面的交线称为平面的迹线,正面迹线,
10、水平迹线,侧面迹线,PV,PH,Px,Py,Py,Pz,铅垂面用迹线如何表示？,PV,PH,PW,Px,Py,P,PV,PW,水平面用迹线如何表示？,Pz,2.平面在三投影面体系中的投影特性,平面相对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,平面相于投影面的位置可归纳为几类？,平面对三投影面均倾斜 一般位置平面,一般位置平面的投影,三个投影都为类似形。,投影特性：,平面某一投影面,投影面垂直面,V,正垂面,铅垂面,H,W,侧垂面,c,c,投影面垂直面的投影,a,b,c,
11、a,b,b,a,类似形,类似形,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影为类似形。,a,c,c,a,a,b,c,b,例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影 及顶点B的正面投影，求ABC的正面投影及侧面 投影。,思考：此题有几个解？,b,平面/某一投影面,投影面平行面,/V,正平面,水平面,/H,/W,侧平面,投影面平行面的投影,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,3.平面上的
12、直线和点,位于平面上的直线应满足的条件：,1）平面上取任意直线,若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。,d,例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,有无数解！,平面上取点,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,d,d,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,首先面上取线,b,c,k,a,d,a,d,b,c,k,b,例2：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一：,解法二：,d,e,例3：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。,AB P KL PAB/H KL AB,平面内垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为平面的最大斜度线,KL为平面内对H面的最大斜度线,平面的最大斜度线,投影特性,kl ab(直角投影定理）,KL与H面的倾角即为平面P与H面的倾角,KL 是平面内对H面倾角最大的直线,
