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1、1,主 讲：谭宁 副教授办公室：教1楼北305,工程力学,2,3.平面力系的平衡问题,平面力系平衡方程,刚体系统的平衡,静定、静不定问题,作业题,3,平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。,得到平面力系平衡的充分必要条件是：,主矢,主矩,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,4,充分性：当 时，表明作用于简化中心O的汇交力系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡。,根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或一个力，与“假设原力系平衡”的前提条件
2、不符，故只有 均为零，原力系才能平衡。,必要性：当原力系平衡时，我们用反设法说明。假设 有一个不为零，即,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,5,平衡条件的解析式：,上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为平衡方程的基本方程。,有三个方程，可解三个未知量。,平衡条件的矢量式：,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,平衡方程基本形式,6,二矩式,x轴不得垂直于A、B的连线。,（3）又若该力系又同时满足，而x轴不得垂直于AB连线时，显然力系不可能有合力。这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡,（1）若力系已满足了，则表明力系
3、不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过A点的一个合力，或者是平衡。,（2）若该力系同时满足，则该力系合成结果或者是作用线通过A、B两点的一个合力，或者是平衡。,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,平衡方程其他形式,7,平面任意力系平衡方程,三矩式,A、B、C三点不得共线。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,平衡方程其他形式,为什么呢？,8,平面平行力系的平衡方程,此时，自然满足。则平面平行力系平衡方程为,只有两个方程，可解两个未知量。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,思考：是否还有其它的形式？,9,平面汇交力系的平衡方程,各力汇交于一点A，自然满足
4、。则平面汇交力系平衡方程为,只有两个方程，可解两个未知量。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,思考：是否还有其它的形式？,10,平面力偶系的平衡方程,显然，关于力平衡的方程自然满足。,只有一个方程，可解一个未知量。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,11,平面任意力系平衡方程,1根据问题条件和要求，选取研究对象。,2分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究对象所受的全部主动力和约束力。,3根据受力类型列写平衡方程。平面一般力系只有三个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和矩心，以使方程中未知量最少。,4求解。校核和讨论计算结果。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问
5、题,求解步骤：,12,例1：一种车载式起重机，车重P1=26 kN，起重机伸臂重P2=4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3=31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,13,解：取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。,不翻倒的条件是：FA0。,因此，得到,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,列平衡方程如下：,14,例2：如图所示是汽车制动机构的一部分。已知司机踩到制动蹬上的力F=212 N，=45。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知
6、EA=24 cm，DE=6 cm点E在铅直线DA上，又B，C，D都是光滑铰链，机构的自重不计。,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,15,解：(1).取制动蹬ABD作为研究对象，画出受力图。,(2)列平衡方程,应用三力平衡汇交的条件得到,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,16,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,17,解:(1)取AB梁，画受力图.,此处，把分布力简化成集中力Q，作用在D点,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,18,应用举例,(2)列平衡方程,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,19,刚体系统平衡：是指组成
7、该系统的每一个刚体都处于平衡状态。,外力：外界物体作用于刚体系统上的力称为外力。,内力：系统内部各个刚体之间的相互作用力称为内力。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,刚体系统：由若干个刚体连接而成的系统。,20,对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当取系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系统其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用在该部分上的外力。因此，对不同的研究对象而言，外力、内力是相对的。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,注意！,21,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,系统平衡的特点：,系统整体是平衡的；,物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个
8、平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体,每个物体都受有平面一般力系作用）,由n个刚体组成的物系，其中n1个刚体为二力体或受有平面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，n3个刚体受有平面一般力系作用，且：n=n1+n2+n3，则整个系统可列出m个独立的平衡方程，且 m=n1+2n2+3n3，可求解m个未知量。,22,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,分析方法：,先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出所有的未知量为止。,整体,局部,以系统的每一个物体为研究
9、对象，列出全部的平衡方程，然后求解。,求解刚体系统的平衡问题，主要依据前面给出的平衡理论。,23,研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点：,分清内力和外力。灵活选取研究对象和列写平衡方程。如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下平衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n个未知量。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,24,已知：a、P、Q。求A、B 的约束反力。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,例一,25,解：(1)考虑整体,受力如图所示，,列平衡方程如下：,(2)考虑左半部，受力分析如图,4个方程，4个未知量，可解。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,这里不需列全部方
10、程，只需有针对性地列出必要的方程！,26,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,27,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,求解方法二,（1）选取研究对象：左刚架，受力分析如图所示。,列平衡方程：,28,（1）选取研究对象：右刚架，受力分析如图所示。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,求解方法二,列平衡方程：,6个方程可解出6个未知量,思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？总结两种方法的特点。,29,图示结构，Fp和 l 均已知，分别求两种情况下的约束力。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,例二,30,MA(F)=0:,FBC d-FP 2l=0,解：该系统中，BC为
11、二力杆。以AB为研究对象，作出受力图,Fy=0:,FAy-FP+FBC sin45=0,FAy=-FP,Fx=0:,FAx+FBCcos=0,FAx=-2FP,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,31,解：以整体为研究对象，作出受力图,列平衡方程,此时AB为二力杆。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,正确识别出二力杆，对解题有很大帮助。,32,已知：四连杆机构ABCD 受力P、Q 作用。求:机构平衡时P、Q 的关系。,例三,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,33,解：以整体为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,AD、BC均为二力杆,
12、34,A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为P，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计，试求B处的约束力。,P,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,例四,35,解：取整体为研究对象。受力分析如图。,列平衡方程,解得,P,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,36,再取杆AB为研究对象，受力分析如图。,列平衡方程,联立求解可得,P,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,FE=P,37,结构由杆AB与BC在B处铰接而成。结构A处为固定端，C处为辊轴支座。结构在DE段承受均布载荷作用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为M。若q、l、M等均为已知，试求A、C二处的约
13、束力。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,例五,38,解：以整体为研究对象，受力如图：,分布力化成了集中力Q，且Q=2ql，作用在B点。,列平衡方程,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,39,以BC杆为研究对象，从铰链B处把BC取出来，则BC杆必然受到铰链的作用力，如图：,把分布力化为集中力P，P=ql，作用在G处。得到BC杆的受力图：,列平衡方程,解得,G,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,40,例六,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,平面结构如图所示，不计各杆自重。,已知：,试求：支座A、C处的约束反力,41,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,解：先取ED为研究
14、对象，受力如图。,列平衡方程,42,（2）取EDCB组合体为研究对象，画受力图,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,列平衡方程,思考：怎么列方程简单？,分布力化成了集中力Q,43,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,（3）取整体为研究对象，画出受力图,列平衡方程，求解出FAX、FAY、MA,思考：该题还可以怎么做？,44,齿轮传动机构如图所示。齿轮的半径为r，自重P1。齿轮的半径为R=2r，其上固定一半径为r的塔轮，轮与共重为P2=2P1。齿轮压力角为=20,被提升的物体C重为P=20P1。求：（1）保持物C匀速上升时，作用于轮上力偶的矩M；（2）光滑轴承A，B的约束力。,刚体系统的平
15、衡,3.平面力系的平衡问题,例七,45,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,齿轮某一特定圆上的比值p/和压力角都定为标准值，这个圆称为分度圆，直径用d表示.,压力角啮合力与齿轮分度圆切线的夹角,标准值为20。,相邻两齿同侧齿廓间的弧长称为该圆的齿距p,46,压力角啮合力与齿轮分度圆切线的夹角,标准值为20。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,47,解：(1).取，轮及重物为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解得,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,48,2.再取轮为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解得,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,49,前面讨论了平面
16、问题中几种力系的平衡问题。注意到：,平面任意力系有3个，,平面力偶系只有1个。,平面汇交力系和平面平行力系各有2个，,因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。,若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。,若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超静定（或静不定）问题。,静定、静不定问题,3.平面力系的平衡问题,50,图（a），（c）均为静定问题；而图（b），（d）均为超静定问题。,(a),(b),(c),(d),静定、静不定问题,3.平面力系的平衡问题
17、,51,判断下面结构是否静定？,否,是,否,静定、静不定问题,3.平面力系的平衡问题,思考,52,静定、静不定问题,3.平面力系的平衡问题,思考,判断下面结构是否静定？,53,需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题。如果考虑到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的补充方程也可求出全部未知约束力。这将在材料力学、结构力学等课程中加以研究。,工程上很多结构都是超静定的。由于结构增加了多余约束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用材料，使安全更可靠。,静定、静不定问题,3.平面力系的平衡问题,54,本章小结,3.平面力系的平衡问题,（1）平面力系是静力学的重点内容，要特别注意研究方法和解题技巧及步骤.在解系统平衡问题时，通常需按题意考虑选取整个体系，或选取体系中某几个物体组成的（子）体系，或选取体系中的单个物体为研究对象。注意每个研究对象的受力图应分别画出，不应混在一张图上画。,（3）列平衡方程时，总是希望一个方程式中只含一个未知量，这样既能迅速解出未知量，又不致因计算差错而相互影响。因此，应根据具体情况灵活选择平衡方程的形式以及投影轴和矩心。,（2）平面力系平衡方程的三种形式。,55,3.平面力系的平衡问题,
