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1、第四编 平面向量4.1 平面向量的概念及线性运算基础知识 自主学习要点梳理1.向量的有关概念（1）向量：既有 又有 的量称为向量，向量的大小叫做向量的（或）.（2）零向量：的向量称为零向量，其 方向是.（3）单位向量：长度等于 的向量.,大小,方向,长度,长度为0,任意的,1个单位长度,模,(4)平行向量：方向 或 的 向量.平 行向量又称为，任意一组平行向量都 可以平移到同一条直线上.规定：0与任一向量.（5）相等向量：长度 且方向 的向量.(6)相反向量：长度 且方向 的向量.,相同,相反,非零,共线向量,平行,相等,相同,相反,相等,2.向量的加法和减法（1）加法 法则：服从三角形法则，
2、平行四边形法则.运算性质：a+b=(交换律）；(a+b)+c=（结合律）；a+0=.(2)减法 减法与加法互为逆运算；法则：服从三角形法则.,b+a,a+(b+c),0+a,a,3.实数与向量的积（1）长度与方向规定如下|a|=;当 时，a与a方向相同；当 时，a 与a方向相反；当=0时，a=.(2)运算律：设、R，则(a)=;(+)a=;(a+b)=.4.两个向量共线定理 向量b与a(a0)共线的充要条件是.,|a|,0,0,0,()a,a+a,a+b,有且只有一,个实数，使b=a,基础自测1.下列等式正确的是（填序号）.a+0=a；a+b=b+a AB+BA0；AC=DC+AB+BD 解析
3、 方法一 AB与BA为相反向量，AB+BA=0，故错.方法二 AB+BA=（OB-OA）+（OA-OB）=OB-OB-OA+OA=0，故错.,2.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB=a,AD=b，则BE=.解析 如图所示，BE=BC+CE=AD-AB=.,3.（2008广东理）在平行四边形ABCD中,AC与 BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与 CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=.解析 如图所示,E是OD的中点,OE=BD=b.又ABEFDE,AE=3EF,AE=AF.在AOE中,AE=AO+OE=a+b.AF=AE=a+b.,4.（2008辽宁理）已知O、A、
4、B是平面上的三个 点，直线AB上有一点C，满足2AC+CB=0，则 OC=（用OA、OB表示）.解析 2AC+CB=0，2（OC-OA）+（OB-OC）=0，OC=2OA-OB.,典型例题 深度剖析【例1】下列命题正确的是（写出正确的所有 序号）.若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；任意两个相等的非零向量的始点与终点是一 平行四边形的四个顶点；若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；有相同起点的两个非零向量不平行。熟练掌握向量的有关概念并进行判断.,分析,解析 由于零向量与任一向量都共线，所以不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就不可能
5、构成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选.答案,跟踪练习1（2010常州模拟）给出下列命题 向量AB的长度与向量BA的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相 反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相 同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、
6、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为.,解析 中，向量AB与BA为相反向量，它们的长度相等，此命题正确.中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误.由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确.由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误.共线向量是方向相同或相反的向量，若AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点不一定在一条直线上，该命题错误.零向量不能看作是有向线段，该命题错误.答案 4,【例2】如图所示，若四边形ABCD是 一个等腰梯形，ABDC，M、N分
7、 别是DC、AB的中点，已知AB=a，AD=b，DC=c，试用a、b、c表示BC，MN，DN+CN.结合图形性质，准确灵活运用三角形法则 和平行四边形法则是向量加减运算的关键.解 BC=BA+AD+DC=-a+b+c，MN=MD+DA+AN，MD=-DC,DA=-AD,AN=AB,MN=a-b-c.DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2b-c.,分析,跟踪练习2（2010安徽合肥模拟）已知平面上 不共线的四点O,A,B,C.若OA-4OB+3OC=0，则.解析 OA-4OB+3OC=0，（OA-OB）-3OB+3OC=0，即OA-OB=3（OB-OC），BA=3CB.=3.,3,【
8、例3】（2009湖南改编）如图，D、E、F分别 是ABC的边AB、BC、CA的中点，则AD+BE+CF=.解析 AD+BE+CF=AB+BC+CA=（AB+BC+CA）=0.,0,跟踪练习3 如图所示，在平行四边 形ABCD中，M，N分别为DC，BC 的中点，已知AM=c，AN=d，试用 c，d表示AB，AD.解 方法一 设AB=a，AD=b，则a=AN+NB=d+（b）b=AM+MD=c+（a）将代入得a=d+（）c+（a）即a=d-c，代入 得b=c+（）（d-c）=c-d.即AB=d-c，AD=c-d.,方法二 设AB=a，AD=b.因为M，N分别为CD，BC的中点，所以BN=b，DM=
9、a，c=b+a a=(2d-c)d=a+b b=(2c-d),即AB=（2d-c）,AD=(2c-d).,因而,解得,【例4】（14分）设两个非零向量a与b不共线，（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证：A、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.解决点共线或向量共线问题，就要根据 两向量共线的条件a=b(b0).解题示范（1）证明 AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB、BD共线，4分,分析,又它们有公共点B，A、B、D三点共线.6分（2
10、）解 ka+b与a+kb共线，存在实数，使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.（k-）a=（k-1）b.10分a、b是不共线的两个非零向量，k-=k-1=0，k2-1=0.k=1.14分,跟踪练习4 设O是ABC内部的一点，且 OA+2OB+2OC=0，则ABC和OBC的面积之 比为.解析 如图所示，延长AO交BC于点D，过点C作 CEOB，交AO的延长线于点E，连结BE.OA+2OB+2OC=0，OA=-2（OB+OC）=-2OE，而OE=2OD，OA=-4OD，|OA|=4|OD|.设A、O到BC的距 离分别是h,h1，则 又ABC与OBC同底，=51.,51,思想方法 感悟提高
11、高考动态展望目前对平面向量知识的考查力度逐步加强，主要是关于向量的基本概念及其相关的基本理论的考查.本节知识点的考查多以客观题形式出现.,方法规律总结1.将向量用其他向量（特别是基向量）线性表 示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的 基础.2.首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为 起点，最后的终点为终点的向量；若这两点重 合，则和为零向量.3.通过向量的共线可以证明三点共线及多点共 线，但要注意到向量的平行与直线的平行的区 别.,定时检测一、填空题1.（2010苏州模拟）如图所示，在平行四边形 ABCD中，下列结论中正确的是.AB=DC AD+AB=AC AB-AD=BD AD+CB=0
12、 解析 显然正确；由平行四边形法则知正 确；AB-AD=DB，故不正确；中 AD+CB=AD+DA=0.,2.（2010徐州模拟）设四边形ABCD中，有DC=AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是.解析 由DC=AB知四边形ABCD是梯形，又|AD|=|BC|，所以四边形ABCD是等腰梯形.,等腰梯形,3.（2008全国理）在ABC中，AB=c，AC=b，若点D满足BD=2DC，则AD=（用 b,c表示）.解析 如图所示,在ABC中,AD=AB+BD.又BD=2DC,BD=BC.BC=AC-AB=b-c,AD=AB+BC=c+(b-c)=b+c.,4.（2010泰州模拟）如图所示，平面内的
13、两条相 交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分、（不包括边界）.若OP=aOP1+bOP2,且点P落在第部分，则实数a，b满足a 0,b 0.(用“”,“0,b0.,5.（2009江苏南京二模）设OB=xOA+yOC，且A、B、C三点共线（该直线不过端点O）,则x+y=.解析 A、B、C三点共线,存在一个实数,使AB=AC，即OB-OA=（OC-OA）.OB=（1-）OA+OC.又OB=xOA+yOC，x+y=（1-）+=1.,1,6.（2009广东茂名一模）在ABC中，已知D是 AB边上的一点，若AD=2DB,CD=CA+CB,则=.解析 由图知CD=CA+AD CD=CB+BD 且AD
14、+2BD=0.+2得3CD=CA+2CB,CD=CA+CB,=.,7.（2009浙江改编）设向量a,b满足：|a|=3，|b|=4,ab=0,以a，b,a-b的模为边长构成三角 形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多 为.解析 由|a|=3,|b|=4及ab=0知ab，故a，b,a-b构成直角三角形，且|a-b|=5.又其内切圆半径为=1.如图所示.将内切圆向上或向下平移可知该圆与该 直角三角形最多有4个交点.,4,8.（2009北京改编）设D是正P1P2P3及其内部 的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心.若集 合S=P|PD,|PP0|PPi|,i=1,2,3，则集合 S表示的平面
15、区域是.解析 如图所示，AB、CD、EF分 别为P0P1、P0P2、P0P3的垂直平分 线，且AB、CD、EF分别交P1P2、P2P3、P3P1于点A、C、D、E、F、B.若|PP0|=|PP1|，则点P在线段AB上，若|PP0|PP1|,则点P在梯形ABP3P2中.同理，若|PP0|PP2|，则点P在梯形CDP3P1 中.,答案 六边形区域,若|PP0|PP3|，则点P在梯形EFP1P2中.综上可知，若|PP0|PPi|,i=1,2,3,则点P在六边形ABFEDC中.,9.（2009山东改编）设P是ABC所在平面内的 一点，BC+BA=2BP，则PC+PA=.解析 因为BC+BA=2BP，所
16、以点P为线段AC的 中点，即PC+PA=0.,0,二、解答题10.（2010南京调研）在 OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=OB.DC与OA交于E，设OA=a，OB=b，用a,b表示向量OC，DC.解 因为A是BC的中点，所以OA=（OB+OC），即OC=2OA-OB=2a-b；DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.,11.（2010江苏苏州调研）已知：任意四边形 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF=（AB+DC）.证明 方法一 如图，E、F分别是AD、BC的中点，EA+ED=0，FB+FC=0，又AB+BF+FE+EA=0，EF=
17、AB+BF+EA 同理EF=ED+DC+CF 由+得，2EF=AB+DC+（EA+ED）+（BF+CF）=AB+DC.EF=（AB+DC）.,方法二 连结EB，EC，则EC=ED+DC，EB=EA+AB，EF=（EC+EB）=（ED+DC+EA+AB）=（AB+DC）.,12.（2009上海宝山模拟）已知点G为ABC的 重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AM=xAB，AN=yAC，求 的值.解 根据题意G为三角形的重心，故AG=（AB+AC），MG=AG-AM=（AB+AC）-xAB=(-x)AB+AC,GN=AN-AG=yAC-AG=yAC-(AB+AC)=(y-)AC-AB,由于MG与GN共线，根据共线向量基本定理知，存在实数，使得MG=GN，即(-x)AB+AC=(y-)AC-AB，即x+y-3xy=0两边同除以xy整理得=3.,返回,
