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1、第三章 微分中值定理与导数的应用,高等数学,第六节 弧微分与曲率,怎样描述曲线局部弯曲程度？,),),弧段弯曲程度越大转角越大,转角相同弧段越短弯曲程度越大,),我们直觉认识到：直线不弯曲，曲线不同部分有不同的弯曲程度；,一 弧微分,规定：,易看出：弧长 是x的单调增函数.,下面求 的导数与微分,弧微分公式,弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds.,因为当Dx0时 Ds MN 又Dx与Ds同号 所以,由此得弧微分公式:,或者,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量,弯曲程度越大转角越大,转角相同弧
2、段短的弯曲大,1、曲率的定义,二、曲率及其计算公式,问题:怎样刻画曲线的弯曲程度？,提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.,2、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注:直线上任意点处的曲率为 0!,转角为,例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.,解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;,R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,注:参数方程下曲率的计算,例2 计算等边双曲线xy1在点
3、(1,1)处的曲率.,曲线在点(1 1)处的曲率为,因此y|x11 y|x12,解,例3 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？,解 由yax2bxc 得 y2axb y2a 代入曲率公式 得,显然 当2axb0时曲率最大,因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|,例4.求椭圆,在t=0处的曲率.,解:,故曲率为,在t=0处,即在点(a,0)的曲率为,思考:,上面的椭圆在何处曲率最大?,三、曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点,在点,在曲线,把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与
4、曲线有下列密切关系:,(1)有公切线;,(2)凹向一致;,(3)曲率相同.,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,例6.求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径.,解：,法线：x=0.,切线：y=0,求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程.,例7 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2.现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大的砂轮
5、才比较合适？,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25,因此,选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长,y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得,例9,解,如图,受力分析,视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径,得曲率为,曲率半径为,即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.,运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支微分几何学.,基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲线弧的近似代替曲率圆(弧).,四、小结,内容小结,1.弧长微分,或,2.曲率公式,3.曲率圆,曲率半径,要使 最大，,必有 最小，,此时 最大，,附1 椭圆 上哪 些点处曲率最大？,解,附2.铁道的弯道分析,证明:,如图,在缓冲段上,根据实际要求,
