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1、第2章 微分学中值定理及其应用-习题课(1),课堂练习,举例,主要内容,Rolle定理,Lagrange中值定理,常用的泰勒公式,Cauchy中值定理,Taylor中值定理,Fermat定理,主要内容,分析:,设,欲证:,使,只要证,亦即,证明 作辅助函数,验证,在,上,满足罗尔定理条件.,课堂练习,证明 反证法,由第1题!,若将第1题改为:,提示：,证明：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,证明 第2题的特殊情况:n=2!,证明,不妨设,分析:所给条件可写为,想到找一点 c,使,证明:因 f(x)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在,0,2上有最大值 M
2、与最小值 m,故,由介值定理,至少存在一点,由罗尔定理知,必存在,证明:,6.试证至少存在一点,使,法1 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,7 试证至少存在一点,使,证:,法2 用柯西中值定理.,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,证明:欲证,因 f(x)在 a,b 上满足L-中值定理条件,故有,将代入,化简得,故有,即要证,证,例1,举例,两式相减,则有,例2,证明:,两式相减,得,令h0,两边取极限,利用f(a)的连续性得,有关中值问题的解题方法小结,利用逆向思维,设辅助函数.,一般解题方法:,证明含一个中值的等式
3、或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.,多用罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理.,必须多次应用,中值定理.,(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,多半用Taylor和lagrange公式,要 注意适当放大或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理.,第2章 导数应用-习题课(2),课堂练习,举例,主要内容,主要内容,1.研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线.,2.解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3.其他应用:,证明不等式;,研究方程实根等.,1.可导函数
4、单调性判别,在 I 上严格单调递增,在 I 上严格单调递减,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.连续函数的极值,(1)极值可疑点:,使导数为0 或不存在的点,(2)第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3)第二充分条件,为极大值,为极小值,3.在a,b上连续的函数f(x)的最大（小）值求法,求函数最值的方法:,(1)求 在 内的极值可疑点,(2)最大值,最小值,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),4.连续曲线凹凸与拐点,（1）凸（凹）函数的定义,（2）凸函数的判定,判定法则1,判定法则2,判定法则3,(3)拐点的定义及判定法,拐点,连续曲线上有切线的凹凸分界点,过,由正变负或,过,由负变正,判定法则1,例1,证,举例,例2,证明,方法1：,例3,证明,课堂练习,证明,课堂练习,证法一：,证法一：,证法二：,
