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1、第二章函数概念与基本初等函数 I,2.5指数与指数函数,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识自主学习,1.分数指数幂,0,没有意义,(2)有理数指数幂的运算性质：aras，(ar)s，(ab)r，其中a0，b0，r，sQ.,ars,ars,arbr,知识梳理,1,答案,2.指数函数的图象与性质,R,答案,y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,(0，),(0,1),答案,思考辨析,答案,D,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,解析因为当x1时，y0，所以图象过点P(1,0).故选D.,D,解析答案,1,2,3,4,
2、5,3.已知0.2m”或“n.,解析答案,1,2,3,4,5,4.若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_.解析由y(a21)x在(，)上为减函数，得0a211，1a22，,解析答案,1,2,3,4,5,5.函数y823x(x0)的值域是_.解析x0，x0，3x3，023x238，0823x8，函数y823x的值域为0,8).,0,8),解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类深度剖析,题型一指数幂的运算,解析答案,(2),解析答案,思维升华,思维升华,(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加
3、；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.,0,跟踪训练1,解析答案,解析答案,例2(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0C.00 D.0a1，b0解析由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0，故选D.,D,题型二指数函数的图象及应用,解析答案,(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.解析曲线|y
4、|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1.,1,1,解析答案,思维升华,思维升华,(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.,A.关于y轴对称 B.关于x轴对称C.关于原点对称 D.关于直线yx对称,它与函数y2x的图象关于y轴对称.,A,
5、跟踪训练2,解析答案,(2)已知函数f(x)|2x1|，af(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A.a0C.2a2c D.2a2c2,解析答案,f(c)f(c)，12a2c1，2a2c2，故选D.答案 D,解析作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，af(c)f(b)，结合图象知00，02a1.f(a)|2a1|12a1，,命题点1比较指数式的大小,例3(1)下列各式比较大小正确的是()2.51.73 10.620.11.250.2 0.30.93.1,题型三指数函数的图象和性质,解析答案,解析A中，函数y1.7x在R上是增函数，2.50.62，正确；C中，(0.8)11.25，问题
6、转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.y1.25x在R上是增函数，0.11,00.93.1，错误.故选B.答案B,ac，故acb.,acb,解析答案,命题点2解简单的指数方程或不等式,解析答案,所以0a1.故a的取值范围是(3,1)，故选C.答案C,命题点3和指数函数有关的复合函数的性质,例5设函数f(x)kaxax(a0且a1)是定义域为R的奇函数.(1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x4)0的解集；,解析答案,思维升华,又a0且a1，所以a1.因为f(x)axln aaxln a(axax)ln a0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x22x)f(4x)
7、，所以x22x4x，即x23x40，所以x1或x1或x4.,解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以k10，即k1，f(x)axax.,解析答案,所以g(x)22x22x4(2x2x)(2x2x)24(2x2x)2.令t(x)2x2x(x1)，则t(x)在(1，)为增函数(由(1)可知)，,所以原函数为(t)t24t2(t2)22，,解析答案,思维升华,思维升华,指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类
8、讨论.(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.,(1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是 _.,所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，,所以m的取值范围是(，4.,(，4,跟踪训练3,解析答案,解析答案,返回,答案A,解析由题意得13xa9x0的解集为(，1，,返回,思想与方法系列,思想与方法系列,4.换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用,解析答案,思维点拨,解析因为x3,2，,思维点拨 根据复合函数的单调性“同增
9、异减”进行探求.,解析设ux22x1，,又ux22x1的增区间为(，1，f(x)的减区间为(，1.,(，1,温馨提醒,解析答案,返回,思维点拨,温馨提醒,(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题.(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化.,返回,思想方法感悟提高,1.通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值，再进行比较.2.指数函数yax(a0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a1.3.对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复
10、合而成.,方法与技巧,1.恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来.2.复合函数的问题，一定要注意函数的定义域.3.对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0(0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.函数f(x)2|x1|的图象是(),B,解析|x1|0，f(x)1，排除C、D.又x1时，|f(x)|min1，排除A.故选项B正确.,解析答案,2.函数f(x)ax21(a0且a1)的图象必经过点()A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2
11、,2)解析a01，f(2)2，故f(x)的图象必过点(2,2).,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,abc.,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,B,由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，,所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,当a1时，如图(2)，而y2a1不符合要求.,答案D,解析方程|ax1|2a(a
12、0且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.已知正数a满足a22a30，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为_.解析a22a30，a3或a1(舍).函数f(x)3x在R上递增，由f(m)f(n)，得mn.,mn,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,所以g(x)g(0)0；,所以g(x)g(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.,0,
13、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，,所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)若f(x)有最大值3，求a的值.,由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，,即当f(x)有最大值3时，a的值为1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.已知函数f(x)exex(xR，且e
14、为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；,f(x)0对任意xR都成立，f(x)在R上是增函数.f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立，f(x2t2)f(tx)对一切xR都成立，
15、x2t2tx对一切xR都成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.函数f(x)a|x1|(a0，a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的关系是()A.f(4)f(1)B.f(4)f(1)C.f(4)1，f(4)a3，f(1)a2，由单调性知a3a2，f(4)f(1).,A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,故可能成立，不可能成立.,B,A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
16、1,12,13,14,15,解析答案,14.当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_.,(1,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(1)求函数f(x)在(1,1)上的解析式；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解f(x)是xR上的奇函数，f(0)0.设x(1,0)，则x(0,1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；,解设0 x1x21，,f(x1)f(x2)0，f(x)在(0,1)上为减函数.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)当取何值时，方程f(x)在(1,1)上有实数解？,解f(x)在(0,1)上为减函数，,或0时，方程f(x)在x(1,1)上有实数解.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,
