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1、为什么要规定a0,且a,1呢？,若a=0，则当x0时，,=0；,0时，,无意义.,当x,若a0，则对于x的某些数值，可使,无意义.,如,若a=1，则对于任何x,R，,=1，是一个常量，没有研究的必要性.,为了便于研究，规定：a0,且a1,在规定以后，对于任何x,R，,都有意义，且,0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+).,时就没有意义。,想一想：,识记与理解 练习：（口答）判断下列函数是不是指 数函数，为什么？,例1,已知指数函数的图象经过点(2,4)，求f(0),f(1),f(-3)。,1,1.一般地，函数 叫做指数函数，其中x是，函数的定义域是 值域是.2.函数y=ax(a0,且a
2、1)，当 时，在(-,+)上是增函数；当 时，在(-,+)上是减函数.3.y=ax(a0,且a1)的图象一定过点.当a1时，若x0,则y，若x0,则y,若x0,且a1,m0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向 平移个 单位得到的；函数y=a(a0,且a1,m0)的图象可以看成指数函数y=ax的图象向 平移个 单位得到的.,y=ax(a0,且a1),自变量,R,（0,+）,a1,0a1,(0,1),1,(0,1),(0,1),1,右,2,右,m,左,m,5.函数y=ax和y=a-x的图象关于 对称；函数y=ax和y=-a-x的图象关于 对称.6.当a1时，af(x)ag(x)；当0ag(x)
3、f(x)g(x).,y轴,原点,f(x)g(x),5.函数y=ax和y=a-x的图象关于 对称；函数y=ax和y=-a-x的图象关于 对称.6.当a1时，af(x)ag(x)；当0ag(x)f(x)g(x).,学点一 基本概念,指出下列函数中，哪些是指数函数：（1）y=4x;（2）y=x4;(3)y=-4x;(4)y=(-4)x;(5)y=x;(6)y=4x2;(7)y=xx;（8）y=(2a-1)x（a,且a1.）,【分析】根据指数函数的定义进行判断.,【解析】由定义，形如y=ax(a0,且a1)的函数叫指数函数.由此可以确定（1）（5）（8）是指数函数.（2）不是指数函数.（3）是-1与指
4、数函数4x的积.,(4)中底数-40,所以不是指数函数.(6)是二次函数,不是指数函数.(7)底数x不是常数,不是指数函数.,已知指数函数y=(m2+m+1)（）x,则m=.,解：y=(m2+m+1)（）x为指数函数,m2+m+1=1,即m2+m=0,m=0或-1.,0或-1,求下列函数的定义域、值域:（1）y=2;（2）y=（）（3）y=4x+2x+1+1;（4）y=10.,【解析】（1）令x-40,得x4.定义域为x|xR,且x4.0,2 1,y=2 的值域为y|y0，且y1.（2）定义域为xR.|x|0,y=1,故y=的值域为y|y1.（3）定义域为R.y=4x+2x+1+1=(2)2+
5、22x+1=(2+1)2,且 0,y1.故y=4x+2x+1+1的值域为y|y1.,X,X,（4）令 0,得 0,解得x-1或x1.故定义域为x|x-1或x1.值域为y|y0,且y10.,（1）要使函数有意义，必须1-x0，即x1,函数的定义域是x|xR,且x1.（2）要使函数有意义，必须-0,则 2-1,-x2-1,即-1x1,函数的定义域是x|-1x1.,求下列函数的定义域:（1）y=2;（2）y=；（3）,(3)1-0 1,x0,即定义域为x|x0.,比较下列各题中两个数的大小：（1）1.72.5,1.73;（2）0.8-0.1,0.8-0.2;（3）1.70.3,0.93.1.,【解析
6、】（1）指数函数y=1.7x，由于底数1.71，指数函数y=1.7x在(-,+)上是增函数.2.5-0.2，0.8-0.11.70=1,0.93.10.93.1.,讨论函数f(x)=的单调性,并求其值域.,f(x)的定义域为R,令u=-x2+2x,则f(u)=.又u=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-,1上是增函数,即当 时，有.又f(u)=在其定义域内为减函数,.函数f(x)在(-,1上为减函数,同理可得f(x)在1,+)上为增函数.又u=-x2+2x=-(x-1)2+11,f(u)=在(-,1上是减函数,f(u).即f(x)的值域为,【解析】令=t,x-3,2,t,y=t2-t+1=,
7、当t=时，y=;当t=8时，y=57.函数的最大值为57,最小值为.,求函数y=，x-3,2的最大值和最小值.,【分析】令=t，化函数为关于t的二次函数，再求解.,已知函数y=a2x+2ax-1(a1)在区间-1,1上的最大值是14,求a的值.,令t=ax,x-1,1，且a1,t.原函数化为y=t2+2t-1=(t+1)2-2.单调增区间是-1,+),当t 时,函数单调递增,当t=a时,=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5,又a1,a=3.,画出函数 的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质.,【解析】其图象是由两部分合成的，一是把y=2x的图象向右平移1个单位，在x1的部分，二
8、是把 的图象向右平移1个单位，在x1的部分，对接处的公共点为(1,1)，如上图.,由图象可知函数有三个重要性质：（1）对称性：对称轴为x=1;（2）单调性：(-,1上单调递减，1,+)上单调递增；（3）函数的值域：1,+).,画出函数y=2x-1+1的图象，然后指出其单调区间及值域.,先画出指数函数y=2x的图象，然后将其向右平移一个单位，再向上平移一个单位即可，由图象可看出函数的单调增区间为(-,+),函数的值域为(1,+).,设a是实数，f(x)=a-(xR).（1）证明：不论a为何实数，f(x)均为增函数；（2）试确定a的值，使f(-x)+f(x)=0成立.,(1)证明：设x1,x2R，
9、且x1x2，x1-x20,则f(x1)-f(x2)=(a-)-(a-)=.由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1x2,所以,即.,又由2x0得所以f(x1)-f(x2)0,因为此结论与a的取值无关，所以不论a为何实数，f(x)均为增函数.（2）由f(-x)+f(x)=0得 得a=1.,删除,例 题,例4 指数函数y3x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y3x11的图象，并画出它的图象,解 把函数y3x的图象向左平移一个单位得到函数 y3x1的图象，再把函数y3x1的图象向上平移1个单位就得到函数y3x11的图象，如图,知识要点,1.整数指数幂及其运算法则,2.分数指数（1）根式的定义；（2
10、）根式的性质；（3）分数指数幂；,一般地，若 则x叫做a的n次方根n叫做根指数，a叫做被开方数,当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=,设函数y1=a2x2+1,y2=ax2+5,求使 y1y2的x的值.,解:(1)当a1时，使y1x2+5 x24 x2或x2或x-2,求下列各等式中的x的值,(1)2x2+1=2x+3；(2)22x-3(2x)-4=0解(1)要使两个同底的幂相等，只需它们的幂指数相等，所以由原式得 x2+1=x+3 即 x2 x-2=0 x=-1或2(2)设z=2x，原等式化为 z2-3z-4=0(z+1)(z-4)=0 即 z=-1(舍去)或z=4 由2x=4，得x=
11、2,例1,比较下列各题中几个值的大小：,解：(1)考察函数 y=1.7x，由于底数 1.71，所以指数函数 y=1.7x 在R上是增函数.2.53,1.7 2.5 1.7 3,(2)考察函数 y=0.8 x.由于底数 0.81，所以指数函数 y=0.8 x在R上是减函数.0.1 0.2,0.8 0.1 0.8 0.2,(3)已知 2 m 2 n 判断m,n的大小(4)已知aman(0a1)判断m,n的大小,解:(3)考察函数 y=2x，由于底数 1,所以指数函数 y=2x 在R上是增函数。2 m 2 n m n.,(4)考察函数 y=a x.由于底数 0 a 1,所以指数函数 y=a x在R上
12、是减函数 a m a n m n.,求下列函数的定义域和值域.,解:(1)要使函数有意义，必须使x0，所以定义域为(-,0)(0,+);因为x0，则y1所以函数的值域为(0,1)(1,+).,(2)要使函数有意义，必须使x-10，即 x1,所以定义域为1,+);因为指数大于等于0，所以y1，即函数的值域为1,+).,(1,+),(0,+),1,+),(0,1,(-1/2,0),二、课前练习,例4.如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象则a,b,c,d与1的大小关系是(),在y轴右侧的图象，底大图高.,ab1cdB.ba1dcC.ab1dcC.ba1cd,B,在第一象限内,按
13、逆时针方向,底数越来越大.,记忆方法:,x=1,例1、解下列不等式,(1)解：160 原不等式可化为,y6x是R上的增函数,原不等式等价于 x210,解得：-1x1,原不等式的解集为(-1，1),四、例题讲解,当0a1时yax是R上的减函数,原不等式等价于 3x0,解得：x4,当0a1时原不等式的解集为(-，-1)(4，+),(2)解：,当a1时yax是R上的增函数,原不等式等价于 3xx2-4 即 x2-3x-40,解得：-1x4,当a1时原不等式的解集为(-1，4),例2、截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后我国人口数最多为多少（精确到亿）？,解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后 我国人口数为y亿，则,当x=20时，,答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.,B,(-，-2)(4，+),证明：函数f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称,f(-x)=-f(x),函数f(x)是奇函数,
