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1、范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成,(1)求任意两个同一直线同频率的简谐振动的合振动；(2)有N个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是A，相差都是，第一个振动的初相为零。求N个简谐振动的振幅和初相。(3)求两个相一直线、频率相近的简谐振动的合振动。,由于两个振动在同一直线上，因此合振动为,x=x1+x2=A1cos(t+1)+A2cos(t+2),=(A1cos1+A2cos2)cost-(A1sin1+A2sin2)sint,令Acos=A1cos1+A2cos2，Asin=A1sin1+A2sin2,则x=Acoscost Asinsint=Acos(t+),解析(1)如图所示，设
2、有两个独立的同频率的简谐振动，,位移为x1=A1cos(t+1)，x2=A2cos(t+2),其中,当两个分振动同相时,=2-1=2k,(k=0，1，2，.),因为cos(2-1)=1，所以,可见：合振幅等于原来两个简谐振动的振幅之和，振动加强。,当两个分振动反相时,=2-1=(2k+1),(k=0，1，2，.),讨论 x=cos(t+),因为cos(2-1)=-1，所以,合振幅等于原来两个简谐振动的振幅之差的绝对值，振动减弱。,如果A1=A2，则合振动的结果使质点处于静止状态。,一般情况下，合振幅介于A1+A2和|A1-A2|之间。,范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成,两个振动同相，合振
3、动加强，振幅达到0.07m。,如果第一个振动的振幅和初相分别为0.03m和0，,第二个振动的振幅和初相分别为0.04m和0，,如果两个振动的振幅不变，角度分别是0和90，x2超前x1的相位/2，,合振幅为0.05m，初相的度数达到53。,如果将两个角度数改为0和180，则两个振动反相，合振动减弱，振幅只有0.01m。,如果将两个角度数改为0和-90，x2滞后x1的相位/2。,除了同相和反相的情况外，合振动的极大值的横坐标处在两个分振动的极大值的横坐标之间。,(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是A，相差都是，第一个振动的初相为零。求n个简谐振动的振幅和初相。,n个简谐振动可表示为
4、,x1=Acost，x2=Acos(t+)，x3=Acos(t+2)，xn=Acost+(n-1),根据矢量合成法则，这些简谐振动对应的旋转矢量的合成如图所示。,由于各个振动的振幅相同且相差恒为，图中各个矢量的起点和终点都在以C为圆心的圆周上。,解析(2)采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。,设圆的半径为r，每个矢量对应的圆心角都是，因此,全部矢量对应的圆心角是n，因此,这是多个等幅同频振动的合振幅公式。,范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成,这是多个等幅同频振动的初相公式。,(2)有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是A，相差都是，第一个振动的初相为零。求N
5、个简谐振动的振幅和初相。,初相为,合振动为x=Acos(t+),当0时，有AnA，0，这就是等幅同频同相振动合成的情况。,如果nA=2，就是所有矢量旋转构成一个正多边形，则A=0。,振幅,这是多个等幅同频振动的振动公式。,范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成,如果有7个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。,将各个分振动叠加之后，振幅越来越大，初位相也越来越大。,矢量首尾相接形成多边形的一部分，最后首尾相接的矢量就是合振动，合振幅为A=5.4A，初相为60度。,当各振动逐级叠加时，合振幅先增加再变小。,取10个分振动，相差依次为30度。,合振幅为A=1.9 A，初相为1
6、35度。,取12个分振动，相差依次为30度，分振动就构成一个完整的正多边形，合振幅为零。,如果分振动的相差为零，那么，正多边形变成一条线。,(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。,x1=Acos(1t+)，x2=Acos(2t+),利用和差化积公式可得合振动为,可见：两个同方向不同频率的简谐振动合成之后不是简谐振动，也没有明显的周期性。,当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|2-1|2+1，方程就表示了振幅按2Acos(2-1)t/2变化的角频率为(2+1)/2的“近似”的简谐振动。,这种振动的振幅变化是周期性的，相对于简谐振动来说是缓慢的。,解析(3)设一个质点同时参与两个同
7、一直线不同频率的简谐振动，角频率分别为1和2，为了突出频率不同所产生的效果，设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为,由于余弦函数的绝对值的周期为，设时间周期为Tp，则有,因此拍频如上,范例5.9 同一直线上的简谐振动的合成,不妨设两个振动的初相都为零，第一个角频率为/2，第二个角频率比第一个角频率大=/10。,每经过20s，两个振动的最大值重合。经过10s，两个振动的极大值和极小值重合。,拍频为fp=/2=1/20Hz，拍频的周期为T p=1/fp=20s。,一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的平均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线。,因为质点振幅的改变是周期性的，就形成时强时弱的现象，这种现象称为“拍”。,调制线决定了振幅的范围。,两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。,如果将两个振动的角频率之差改小一些，例如=/15，两个振动的最大值重合的周期随着发生变化。,拍频为fp=/2=1/30Hz，拍频的周期为T p=1/fp=30s。,
