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1、要点梳理1.解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征.(3)求解求出该问题的数学解.(4)还原将所求结果还原到原实际问题中.,6.5 数列的综合应用,基础知识 自主学习,2.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r,等额还款数为b,分n期还完，则b=,基础自测1
2、.数列an是公差不为0的等差数列且a7、a10、a15是 等比数列bn的连续三项，若等比数列bn的首项 b1=3,则b2等于（）A.B.5 C.2 D.解析 由条件知=a7a15,（a7+3d）2=a7(a7+8d),9d=2a7，q=b1=3，b2=b1q=5.,B,2.一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13 958，则出齐这套书的年份是（）A.1994B.1996 C.1998 D.2000 解析 设出齐这套书的年份是x，则（x-12）+(x-10)+(x-8)+x=13 958,7x-=13 958,x=2000.,D,3.（2009四川文，3）等差数列an
3、的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列an的前10项之和是（）A.90 B.100 C.145 D.190 解析 由题意知，（a1+d）2=a1(a1+4d),即+2a1d+d2=+4a1d,d=2a1=2.S10=10a1+d=10+90=100.,B,4.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（）A.6秒B.7秒 C.8秒D.9秒 解析 依题意1+21+22+2n-1100,100,2n101,n7,即至少需要7秒细菌将病毒全部杀死.,B,5.已知数列an
4、中，a1=2，点（an-1,an）(n1且nN)满足y=2x-1，则a1+a2+a10=.解析 an=2an-1-1，an-1=2(an-1-1),an-1是等比数列，则an=2n-1+1.a1+a2+a10=10+(20+21+22+29)=10+=1 033.,1 033,题型一 等差数列与等比数列的综合应用【例1】数列an的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1(n1).（1）求an的通项公式；（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.S1，n=1，Sn-Sn-1，n2.求an.（2）注意等差数列与等比
5、数列之间的相互关系.,思维启迪,（1）运用公式an=,题型分类 深度剖析,解（1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n2),两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an(n2).又a2=2S1+1=3,a2=3a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an=3n-1.（2）设bn的公差为d,由T3=15,b1+b2+b3=15,可得b2=5,故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.等差数列bn的各项为正，d0,d=2,b1=3,Tn=3n+2=n2+2n.,探究
6、提高 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系.往往用到转化与化归的思想方法.知能迁移1（2009全国文，17）设等差数列an的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求an,bn的通项公式.解 设an的公差为d，bn的公比为q.由a3+b3=17得1+2d+3q2=17,由T3-S3=12得q2+q-d=4.由、及q0解得q=2,d=2.故所求的通项公式为an=2n-1,bn=32n-1.,题型二 数列与函数的综合应用【例2】（12分）已知f(x)=
7、logax(a0且a1)，设 f(a1),f(a2),f(an)(nN*)是首项为4，公差为 2的等差数列.（1）设a为常数，求证：an是等比数列；（2）若bn=anf(an),bn的前n项和是Sn,当a=时,求Sn.利用函数的有关知识得出an的表达式，再利用表达式解决其他问题.,思维启迪,（1）证明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2,logaan=2n+2,2分an=a2n+2.（n2）为定值.an为等比数列.5分(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当a=时，bn=(2n+2)()2n+2=(n+1)2n+2.7分Sn=223+324+
8、425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3-得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3,=16+-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.Sn=n2n+3.12分 数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题.此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题.解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.,探究提高,知能迁移2 设等比数列an的前n项和Sn，首项a1=1,公比q=f(-1,0).（1）证明：Sn=（1+
9、）-an；（2）若数列bn满足b1=,bn=f(bn-1)(nN*,n2),求数列bn的通项公式;（3）若=1,记cn=an,数列cn的前n项和为 Tn,求证:当n2时,2Tn4.,(1)证明,(2)解,是首项为=2,公差为1的等差数列.=2+(n-1)=n+1,即bn=,(3)证明 当=1时,又Tn+1-Tn0,Tn单调递增.TnT2=2.故当n2时,2Tn4.,两式相减得,题型三 数列的实际应用【例3】假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加5
10、0万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59),（1）要求学生会把实际问题转化为数学问题:Sn=250n+50=25n2+225n4 750.(2)an0.85bn,bn=4001.08n-1.解（1）设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1=250,d=50,则an=250+(n-1)50=50n+200Sn=250n+50=25n2+225n
11、,令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数，n10.因此到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.,思维启迪,（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-1.由题意可知an0.85bn,即50n+200400(1.08)n-10.85.当n=5时，a50.85b5,当n=6时，a60.85b6,因此满足上述不等式的最小正整数n为6.因此到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年 建造住房面积的比例首次大于85%.,解决此类问题的关键是如何把实际问题转
12、化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.,探究提高,知能迁移3 某市2008年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的?(lg 657=2.82,lg 2=0.30,lg 3=0.48)解(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列an,其中a1=128,q=1.5,则在2015年应该投入的电力型公交车为a7=a1q6=1281.56=1 4
13、58（辆）.,（2）记Sn=a1+a2+an，依据题意，得，于是Sn=5 000（辆），即1.5n两边取常用对数，则nlg 1.5lg即n 7.3,又nN*，因此n8.所以到2016年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.,方法与技巧1.深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错.2.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组）求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处.,思想方法 感悟提高,3.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形
14、、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等.4.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题.,失误与防范1.等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习.2.数列的应用还包括实际问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解.3.在有
15、些情况下，证明数列的不等式要用到放缩法.,一、选择题1.各项都是正数的等比数列an中，a2，a3，a1成等 差数列，则 的值为（）A.B.C.D.或 解析 设an的公比为q(q0)，由a3=a2+a1,得q2-q-1=0，解得q=.因此,B,定时检测,2.数列an中,an=3n-7(nN*),数列bn满足 b1=,bn-1=27bn(n2且nN*),若an+logkbn为 常数,则满足条件的k值（）A.唯一存在,且为 B.唯一存在,且为3 C.存在且不唯一 D.不一定存在,解析 依题意,an+logkbn=3n-7+logk()3n-2=3n-7+(3n-2)logk=(3+3logk)n-7
16、-2logk,an+logkbn是常数，3+3logk=0,即logk3=1,k=3.答案 B,3.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A.4 B.5 C.6 D.7,解析 正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数列，其棱长分别为：2，1，n层正方体的表面积为由已知：40-32（）n39，整理得2n32,n5.答案 C,4.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维
17、修保养费为 元(nN*),使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少）为止,一共使用了（）A.800天 B.600天 C.1 000天 D.1 200天,解析 由第n天的维修保养费为 元(nN*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为当且仅当 时取得最小值，此时n=800.答案 A,5.2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾.大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当
18、天人均捐款数比前一天多5元，则截止到第5天（包括第5天）捐款总数将达到（）A.4 800元B.8 000元 C.9 600元D.11 200元 解析 由题意知，5天共捐款 1010+（102）（10+5）+（1022）（15+5）+（1023）（20+5）+（1024）（25+5）=8 000（元）.,B,6.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点，则b10等于（）A.24 B.32 C.48 D.64 解析 依题意有anan+1=2n，所以an+1an+2=2n+1,两式相除得=2,所以a1,a3,a5,成等比数列，a2,a4,a6,成等
19、比数列，而a1=1,a2=2,所以a10=224=32,a11=125=32.又因为an+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64.,D,二、填空题7.已知数列an满足a1=1,a2=-2,an+2=-,则该数列前26项的和为.解析 由于a1=1,a2=-2,an+2=-，所以a3=-1,a4=,a5=1,a6=-2,于是an是周期为4的数列，故S26=6（1-2-1+）+1-2=-10.,-10,12 34 5 67 8 9 10,8.（2008江苏，10）将全体正整数排成一个三角形数阵：,按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为.解析 前n-1行共有正整数1+2+(n
20、-1)个,即个,因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个,即为.,9.（2009福建理，15）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为.,解析 设第n个同学报出的数为an,则an+an+1=an+2,an+2=an+an+1,an+3=an+1+an+2=an+2an+1,an+4=an+3+an+2=2an+3an+1,an+4+an=3an+3an+1=3(a
21、n+an+1).又an为大于0的整数,an被3整除时，an+4也被3整除；an不被3整除时，an+4也不被3整除.又a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,an中被3整除的数为a4+4k(kN),又甲报出的数为a1+5m(mN),甲报出的数a1+5m被3整除时，存在kN,使1+5m=4+4k,k=m-3被4整除，设m-3=4p(pZ)，则m=4p+3.11+5m100,0m19.8,04p+319.8,-p4.2,p只能取0，1，2，3，4共5个整数，m只能取3，7，11，15，19共5个整数，甲报出的数只有5次能被3整除.甲拍了5次手.答案 5,三、解答题10.为保护我国的稀土资源
22、，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.（1）以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；（2）因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：0.9100.35.,解（1）由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1=a,公比q=1-10%=0.9,an=a0.9n-1.（2）10年出口总量S10=10a(1-0.910).S1080，10a（1-0.910）80，即a a12.3.故2010年最多出口12.3吨.,11.设数列a
23、n的前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（nN*）.其中m为常数，m-3,且m0.（1）求证：an是等比数列；（2）若数列an的公比满足q=f(m)且b1=a1,bn=f(bn-1)(nN*,n2),求证：为等差数列,并求bn.证明（1）由（3-m）Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得(3+m)an+1=2man(m-3),m是常数，且m-3，m0，,故 是不为0的常数，an是等比数列.（2）由b1=a1=1,q=f(m)=,nN*且n2,bn=f(bn-1)=得bnbn-1+3bn=3bn-1，是以1为首项，为公差的等差数列，,12.
24、一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列ak(k=1,2,3,n).试求：（1）a1,a2,a3;（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数多少个？（3）求数列ak的前k项和Sk.,解（1）由题意得a1=n-1,a2=(n-1)+(n-2)-1=2n-4,a3=(n-1)+(n-2)+(n-3)-1-2=3n-9.（2）在第k站出发时，放上的邮袋共：(n-1)+(n-2)+(n-k)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+(k-1)个，故ak=(n-1)+(n-2)+(n-k)-1+2+(k-1)=kn-k(k+1)-k(k-1)=kn-k2(k=1,2,n),即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数kn-k2（k=1，2，n）个.（3）ak=kn-k2，Sk=（n+2n+kn）-（12+22+k2）=k（n+kn）-,返回,
