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1、一、随机变量的数学期望,三、数学期望的性质,二、随机变量函数的数学期望,四、小结,2.4 数学期望的定义与性质,离散随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计性规律，但这样“全面的描述”有时不方便，或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成，一般比较平均亩产。,一、随机变量的数学期望,引例 某手表厂在出产产品中抽查了N=100只手表的日走误差，数据如下：,这时抽查到的100只手表的品均日走时误差为：,记作 为事件“日走时误差为k秒”的频率：,平均值=,1.离散型随机变量的数学期望,思考：1、为什么要绝对收敛？2、若不绝对收敛会有什么结果？,设离散型随
2、机变量 的可能的取值为，其分布列为 若 绝对收敛，则称随机变量 存在数学期望,关于定义的两点说明,(1)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 取可能值的真正平均值,也称均值.,(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量 取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.,试问哪个射手技术较好?,例1 谁的技术比较好?,解,故甲射手的技术比较好.,例2 二项分布,则有,设随机变量 服从参数为 n,p 二项分布,其分布列为,则两点分布b(1,p)的数学期望为 p.,=np,例3 泊松分
3、布,则有,例 4 在某地区进行某种疾病普查，为此要检查每一个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验需要N次，有没有办法减少检验的工作量？,析：把每k人分到一组，其血液混合，若检验的结果为阴性，则这k个人的血液全为阴性，因而每人只需检验1/k次；否则，对这k人逐一检验即可，则这k人每人需检验(1+1/k)次，从而k个人需要检验总次数可能是1或是(1+k)次，是一随机变量。,例5 几何分布,则有,若g(x)为 的单值函数,1.一维离散型随机变量函数的数学期望,二、随机变量函数的数学期望,证明,由数学期望的定义有：,定理 2.3 若 是二维随机变量，其联合分布列为,又 是实变量 的单值函数，如果,2
4、.二维离散型随机变量函数的数学期望,1,证明,三、数学期望的性质,解,例6,四、小结,数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值.,2.数学期望的性质,作业：27；31；32；33,3.常见离散型随机变量的数学期望,根据生命表知,某年龄段保险者里,一 年中每个人死亡的概率为0.002,现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.问每人一年须交保险费多少元?,例1 你知道自己该交多少保险费吗?,备份题,解,设1年中死亡人数为X,被保险人所得赔偿金的期望值应为,若设每人一年须交保险费为a 元,由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知,故每人1年应向保险公司交保险费4元.,解,例3,解,
